تم استخراج بيانات درس **ديناميكا الحركة الدورانية** من الملف المرفق بالترتيب:

تم استخراج بيانات درس ديناميكا الحركة الدورانية من الملف المرفق بالترتيب:
وتم تجهيز الصور المستخرجة بأسماء مرتبطة بالفقرات التابعة لها:

[تحميل صور درس ديناميكا الحركة الدورانية](sandbox:/mnt/data/صور_درس_ديناميكا_الحركة_الدورانية.zip)

أسماء الصور المستخرجة

• `01_الشكل_2_3_تأثير_القوة_على_فتح_الباب.png`
• `02_الشكل_2_4_ذراع_القوة_على_الباب_والمفتاح.png`
• `03_مثال_1_حساب_ذراع_القوة_ومقدار_القوة.png`
• `04_مسائل_تدريبية_العزم_10_الى_13.png`
• `05_تجربة_عملية_العزوم_QR.png`
• `06_الشكل_2_5_محصلة_العزم_قلم_رصاص_وقطعتا_نقد.png`
• `07_مثال_2_اتزان_العزوم_الأرجوحة.png`
• `08_الشكل_2_6_بكرتان_وسلتان.png`
• `09_الشكل_2_7_بدال_دراجة_هوائية_وسلسلة.png`
• `10_مسائل_تدريبية_العزم_14_الى_18.png`

---

تفريغ درس ديناميكا الحركة الدورانية بالترتيب

الصفحة 42

2-2 ديناميكا الحركة الدورانية

Rotational Dynamics

الأهداف

• تصف العزم.
• تحدد العوامل التي يعتمد عليها العزم.
• تحسب محصلة العزم.

المفردات

• ذراع القوة.
• العزم.

كيف تبدأ الحركة الدورانية لجسم ما؟ كيف تتغير سرعته الزاوية المتجهة؟ إذا كان لديك علبة أسطوانية، وأردت أن تديرها حول نفسها، فما عليك إلا أن تلف خيطًا حولها ثم تسحبه بقوة فتدور، وكلما سحبت الخيط بقوة أكبر زادت سرعة دورانها. تؤثر في العلبة في هذه الحالة قوتان، هما قوة الجاذبية الأرضية، وقوة الشد في الخيط. أما قوة الجاذبية الأرضية فتؤثر في مركز العلبة، ولذلك لا تؤدي إلى تدوير العلبة، وستعرف السبب لاحقًا. وأما قوة الشد في الخيط فتؤثر في الحافة الخارجية للعلبة، ويكون اتجاه قوة الشد متعامدًا مع اتجاه الخط الواصل بين مركز العلبة والنقطة التي يلامس عندها الخيط سطح العلبة مبتعدًا عنها.

وكما تعلمت، فإن القوة المؤثرة في جسم تعطي تغيرًا من سرعته الخطية المتجهة. أما الجسم غير النقطي والذي يكون ثابتًا في الشكل والحجم، كما في حالة العلبة الأسطوانية، فإن تأثير القوة فيه بطريقة معينة يغير سرعته الزاوية المتجهة. تأمل حالة فتح باب مغلق: إنك تؤثر في الباب بقوة لكي تفتحه، ولكن ما أسهل طريقة لفتح الباب؟ إن ما يعنينا هو الحصول على أكبر أثر عند التأثير بأقل قوة ممكنة. ولتحقيق هذا نجعل نقطة تأثير القوة أبعد ما يمكن عن محور الدوران، انظر الشكل 2-3. إن محور الدوران في حالة الباب هو خط وهمي رأسي يمر من خلال مفصلات الباب. أما نقطة تأثير القوة فهي مقبض الباب الذي يكون بجانب الطرف الخارجي للباب. ولضمان أثر فعال للقوة فإننا نؤثر بها في مقبض الباب بعيدًا جدًا عن المفصلات، وبزاوية قائمة بالنسبة للباب، حيث يحدد كل من مقدار القوة واتجاهها، والمسافة بين المحور ونقطة تأثير القوة، التغير في السرعة الزاوية المتجهة.

الشكل 2-3

عند فتح باب حر الدوران حول المفصلات يتولد أكبر عزم عندما تؤثر القوة في أبعد نقطة عن المفصلات `a` وبزاوية متعامدة مع الباب `b`.

ذراع القوة

عند التأثير بقوة معينة، فإن التغير في السرعة الزاوية المتجهة يعتمد على ذراع القوة، وهي المسافة العمودية من محور الدوران حتى نقطة تأثير القوة. فإذا كانت القوة متعامدة مع نصف قطر الدوران، كما في حال العلبة الأسطوانية، فإن ذراع القوة تساوي البعد عن المحور، وتساوي `r`. أما بالنسبة للباب فإن ذراع القوة تساوي البعد بين المفصلات ونقطة تأثير القوة، انظر الشكل `2-4a`. وإذا لم تكن القوة متعامدة مع محور الدوران فإننا نأخذ المركبة العمودية للقوة. فالقوة التي يؤثر بها الخيط حول العلبة متعامدة مع نصف قطر العلبة، وإذا كانت القوة المؤثرة غير متعامدة مع نصف القطر فإن مقدار ذراع القوة يقل. ولإيجاد ذراع القوة نمد خط متجه القوة حتى يشكل زاوية قائمة مع الخط الممتد من مركز الدوران، فتكون المسافة بين نقطة التقاطع والمحور هي ذراع القوة `L`. وباستخدام حساب المثلثات يمكن إيجاد طول ذراع القوة `L` بالعلاقة:

`L = r sin θ`

انظر الشكل `2-4b`. وتمثل `r` المسافة بين محور الدوران ونقطة تأثير القوة، أما `θ` فهي الزاوية المحصورة بين القوة المؤثرة ونصف القطر، أي المتجه الممتد من محور الدوران إلى نقطة تأثير القوة.

---

الصفحة 43

الشكل 2-4

تكون ذراع القوة محاذية لعرض الباب من المفصلات حتى نقطة تأثير القوة `a`. تحسب ذراع القوة `L` من المعادلة:

`L = r sin θ`

عندما تكون الزاوية `θ` بين القوة ونصف قطر الدوران لا تساوي `90°`، كما في الشكل `b`.

العزم

العزم مقياس لمقدرة القوة على إحداث الدوران، ومقدار العزم يساوي حاصل ضرب القوة في طول ذراعها. ولأن القوة مقيسة بوحدة النيوتن والمسافة بوحدة المتر فإن العزم يقاس بوحدة:

`N.m`

ويرمز له بالحرف اللاتيني:

`τ`

ويعبر عنه بالمعادلة الآتية:

العزم

`τ = F r sin θ`

العزم يساوي حاصل ضرب القوة في طول ذراعها.

---

مثال 1

ذراع القوة

يتطلب شد صامولة في محرك سيارة عزمًا مقداره `35 N.m`. إذا استخدمت مفتاح شد طوله `25 cm`، فأثرت في نهاية المفتاح بقوة تميل بزاوية `60.0°` بالنسبة إلى الرأسي، فما طول ذراع القوة؟ وما مقدار القوة التي يجب أن تؤثر بها؟

1. تحليل المسألة ورسمها

• مثل الوضع، وجد طول ذراع القوة بسحب متجه القوة من نهايته حتى يتقاطع الخط العمودي عليه مع محور الدوران.

المعلوم

`τ = 35 N.m`

`r = 0.25 m`

`θ = 60.0°`

المجهول

`L = ?`

`F = ?`

2. إيجاد الكمية المجهولة

جد طول ذراع القوة باستخدام العلاقة.

عوض مستخدمًا:

`r = 0.25 m`

`θ = 60.0°`

`L = r sin θ`

`L = (0.25 m)(sin 60.0) = 0.22 m`

عوض مستخدمًا:

`τ = 35 N.m`

`r = 0.25 m`

`θ = 60.0°`

`τ = F r sin θ`

`F = τ / r sin θ`

`F = 35 N.m / (0.25 m)(sin 60°)`

`F = 1.6 × 10^2 N`

دليل الرياضيات

النسب المثلثية: الصفحات `228–229`.

3. تقويم الجواب

• هل الوحدات صحيحة؟ تقاس القوة بوحدة النيوتن.
• هل الإشارات مهمة هنا؟ تم حساب مقدار القوة اللازمة فقط لتدوير المفتاح في اتجاه حركة عقارب الساعة.

---

الصفحة 44

مسائل تدريبية

10

بالرجوع إلى مفتاح الشد في المثال 1، ما مقدار القوة التي يجب التأثير بها عموديًا في مفتاح الشد؟

11

إذا تطلب تدوير جسم عزمًا مقداره `55.0 N.m`، في حين كانت أكبر قوة يمكن التأثير بها `135 N`، فما طول ذراع القوة الذي يجب استخدامه؟

12

لديك مفتاح شد طوله `0.234 m`، وتريد أن تستخدمه في إنجاز مهمة تتطلب عزمًا مقداره `32.4 N.m`، عن طريق التأثير بقوة مقدارها `232 N`. ما مقدار أقل زاوية تصنعها القوة المؤثرة بالنسبة إلى الرأسي، وتسمح بتوفير العزم المطلوب؟

13

إذا كانت كتلتك `65 kg`، ووقفت على بدالات دراجة هوائية، بحيث يصنع البدال زاوية مقدارها `35°` على الأفقي، وتبعد مسافة `18 cm` عن مركز حلقة السلسلة، فما مقدار العزم الذي تؤثر فيه؟ وما مقدار العزم الذي تؤثر فيه إذا كانت البدالات رأسية؟

---

إيجاد محصلة العزم

Finding Net Torque

نفذ التجربة التالية: خذ قلمي رصاص، وقطع نقد معدنية، وشريطًا لاصقًا شفافًا، وثبت قطعتي نقد متماثلتين بنهايتي أحد القلمين، ودعه يتزن فوق القلم الثاني، كما في الشكل `2-5`. تؤثر كل من قطعتي النقد بعزم مساوٍ لوزنها `Fg` مضروبًا في المسافة `r` من نقطة الاتزان إلى مركز قطعة النقد على النحو الآتي:

`τ = Fg r`

ولكن العزمين متساويان في المقدار ومتعاكسان في الاتجاه، لذا تساوي محصلة العزم صفرًا:

`τ1 + τ2 = 0`

أو:

`Fg1 r1 - Fg2 r2 = 0`

والآن، كيف تجعل القلم يدور؟ يجب إضافة قطعة نقد أخرى فوق إحدى القطعتين النقديتين، مما يجعل القوتين مختلفتين، كما يمكن إزاحة نقطة الاتزان نحو إحدى قطعتي النقد، مما يجعل المسافتين مختلفتين.

تجربة عملية

العزوم: ارجع إلى دليل التجارب في منصة عين الإثرائية.

الشكل 2-5

عندما يتزن قلم الرصاص فإن العزم المؤثر بواسطة القطعة النقدية الأولى:

`Fg1 r1`

يساوي العزم المؤثر بواسطة القطعة النقدية الثانية:

`Fg2 r2`

في المقدار ويعاكسه في الاتجاه.

---

الصفحة 45

مثال 2

اتزان العزوم

يلعب سعيد ولؤي على أرجوحة أفقية طولها `1.75 m` بحيث يحافظان على وضع الاتزان للعبة. فإذا كانت كتلة سعيد `56 kg`، وكتلة لؤي `43 kg`، فما بعد نقطة الارتكاز عن كل منهما؟ أهمل وزن لوح الأرجوحة.

1. تحليل المسألة ورسمها

• مثل الوضع.
• ارسم المتجهات ثم سمها.

المعلوم

`ms = 56 kg`

`mℓ = 43 kg`

`rs + rℓ = 1.75 m`

المجهول

`rs = ?`

`rℓ = ?`

2. إيجاد الكمية المجهولة

احسب مقدار القوتين.

سعيد

`Fgs = ms g`

`Fgs = (56 kg)(9.80 m/s^2)`

`Fgs = 5.5 × 10^2 N`

لؤي

`Fgℓ = mℓ g`

`Fgℓ = (43 kg)(9.80 m/s^2)`

`Fgℓ = 4.2 × 10^2 N`

احسب بعد سعيد عن نقطة الارتكاز بدلالة طول لعبة الميزان وكذلك بعد لؤي. عندما لا يحدث الدوران يكون مجموع العزوم صفرًا.

`rs = 1.75 m - rℓ`

`Fgs rs = Fgℓ rℓ → Fgs rs - Fgℓ rℓ = 0.0 N.m`

`Fgs(1.75 m - rℓ) - Fgℓ rℓ = 0.0 N.m`

`Fgs(1.75 m) - Fgs rℓ - Fgℓ rℓ = 0.0 N.m`

`Fgs rℓ + Fgℓ rℓ = Fgs(1.75 m)`

`(Fgs + Fgℓ) rℓ = Fgs(1.75 m)`

`rℓ = Fgs(1.75 m) / (Fgs + Fgℓ)`

بالتعويض:

`rℓ = (5.5 × 10^2 N)(1.75 m) / (5.5 × 10^2 N + 4.2 × 10^2 N)`

`rℓ = 0.99 m`

دليل الرياضيات

فصل المتغير: الصفحة `215`.

3. تقويم الجواب

• هل الوحدات صحيحة؟ تقاس المسافة بالمتر.
• هل للإشارات المستخدمة معنى؟ المسافات تكون موجبة.
• هل الجواب منطقي؟ لؤي على بعد `1 m` تقريبًا من المركز، لذا يكون سعيد على بعد `0.75 m` من المركز. ولأن وزن سعيد أكبر من وزن لؤي، فيكون ذراع القوة لديه أقل مما لدى لؤي، أي أن لؤيًا على بعد أكبر من نقطة الاتزان.

---

الصفحة 46

مسائل تدريبية

14

يجلس عليّ على بعد `1.8 m` من مركز الأرجوحة، فعلى أي بعد من مركز الأرجوحة يجب أن يجلس عبدالله حتى يتزن؟ علمًا بأن كتلة علي `43 kg` وكتلة عبدالله `52 kg`.

15

إذا كان نصف قطر إطار دراجة هوائية `7.70 cm`، وأثرت السلسلة بقوة عمودية مقدارها `35.0 N` في الإطار في اتجاه حركة عقارب الساعة، فما مقدار العزم اللازم لمنع الإطار من الدوران؟

16

علقت سلة فواكه بحبلين على بكرتين قطرهما مختلفان، فاتزنتا كما في الشكل `2-6`. ما مقدار كتلة السلة `A`؟

17

افترض أن نصف قطر البكرة الكبرى في السؤال السابق أصبح `6.0 cm`، فما مقدار كتلة السلة `A`؟

18

يقف شخص كتلته `65.0 kg` على بدال دراجة هوائية، فإذا كان طول ذراع التدوير `0.170 m`، ويصنع زاوية `45.0°` بالنسبة إلى الرأسي كما في الشكل `2-7`، وكانت ذراع التدوير متصلة بالإطار الخلفي، الذي تديره السلسلة عادة، فما مقدار القوة التي يجب أن تؤثر فيها السلسلة لمنع الإطار من الدوران، علمًا بأن نصف قطر الإطار `9.70 cm`؟

الشكل 2-6

رسم يوضح بكرتين مختلفتي القطر، وسلتين معلقتين، إحداهما كتلتها `0.23 kg`، والأخرى هي السلة `A`.

الشكل 2-7

رسم يوضح بدال دراجة هوائية وذراع التدوير والسلسلة، مع زاوية `45.0°` وطول ذراع التدوير `0.170 m` ونصف قطر الإطار `9.70 cm`.

---

2-2 مراجعة

19. العزم

يريد عبد الرحمن أن يدخل من باب دوار ساكن، وضح كيف يدفع الباب ليدور عزمًا بأقل مقدار من القوة المؤثرة؟ وأين يجب أن تكون نقطة تأثير تلك القوة؟

20. ذراع القوة

حاول فيصل فتح باب، ولم يستطع دفعه بزاوية قائمة، فدفعه بزاوية `55°` بالنسبة للعمودي. قارن بين قوة دفعه للباب في هذه الحالة وبين القوة اللازمة لدفعه عندما تكون القوة عمودية عليه `90°`، مع تساوي سرعة الباب في الحالتين.

21. محصلة العزم

يسحب شخصان حبلين ملفوفين حول حافة إطار كبير، فإذا كانت كتلة الإطار `12 kg` وقطره `2.4 m`، ويسحب أحد الشخصين الحبل الأول في اتجاه حركة عقارب الساعة بقوة `43 N`، ويسحب الشخص الآخر الحبل الثاني في اتجاه معاكس لاتجاه حركة عقارب الساعة بقوة `67 N`، فما محصلة العزم على الإطار؟

22. التفكير الناقد

إذا وضعت كرة عند أعلى سطح مائل مهمل الاحتكاك فسوف تنزلق إلى أسفل السطح دون دوران، ولكن إذا كان السطح خشنًا فإن الكرة ستتدحرج في أثناء انزلاقها إلى أسفل. وضح سبب ذلك، مستخدمًا مخطط الجسم الحر.