درس: الحركة الدورية
درس: الحركة الدورية
2-1 الحركة الدورية Periodic Motion
الأهداف
- تصف القوة في نابض مرن.
- تحدد الطاقة المختزنة في نابض مرن.
- تقارن بين الحركة التوافقية البسيطة وحركة بندول.
المفردات
- الحركة الاهتزازية الدورية
- الحركة التوافقية البسيطة
- الزمن الدوري
- سعة الاهتزازة
- قانون هوك
- البندول البسيط
- الرنين
تجربة استهلالية
كيف تنتقل الموجات في نابض؟
سؤال التجربة
كيف تنتقل النبضات التي ترسل عبر نابض عندما يكون طرفه الآخر ثابتًا؟
الخطوات
- شد نابضًا لولبيًا دون مبالغة في ذلك، ثم اطلب إلى أحد زملائك تثبيت أحد طرفي النابض، بينما يحرك زميل آخر الطرف الحر للنابض باتجاه طوله وبالعكس ليولد نبضات فيه. راقب النبضات خلال انتقالها في النابض إلى أن تصل الطرف المثبت، وسجل ملاحظاتك.
- كرر الخطوة 1، بتوليد نبضات أكبر، وسجل ملاحظاتك.
- ولد نبضات مختلفة في النابض بتحريكه جانبيًا من أحد طرفيه، وسجل ملاحظاتك.
- ولد نوعًا ثالثًا من النبضات عن طريق ليّ (لف) أحد طرفي النابض، ثم تركه، وسجل ملاحظاتك.
التحليل
ماذا يحدث للنبضات في أثناء انتقالها خلال النابض؟ وماذا يحدث عندما ضربت النبضات الطرف الثابت من النابض؟ وكيف كانت النبضة المتولدة في الخطوة 1 مقارنة بالنبضة المتولدة في الخطوة 2؟
التفكير الناقد
اذكر بعض الخصائص التي تبدو أنها تتحكم في حركة النبضة خلال النابض.
لعلك شاهدت بندول ساعة يتأرجح ذهابًا وإيابًا، ولاحظت أن كل تأرجح يتبع المسار نفسه، وتحتاج كل رحلة ذهاب وإياب إلى المقدار نفسه من الزمن. تعتبر هذه الحركة مثالًا على الحركة الاهتزازية. ومن الأمثلة الأخرى على ذلك تذبذب جسم فلزي مثبت بنابض إلى أعلى وإلى أسفل. هذه الحركات التي تتكرر في دورة منتظمة أمثلة على الحركة الاهتزازية الدورية.
ويكون للجسم في تلك الأمثلة كلها موضع واحد، تكون عنده القوة المحصلة المؤثرة في الجسم تساوي صفرًا، ويكون الجسم في ذلك الموضع في حالة اتزان. وعند سحب الجسم بعيدًا عن موضع اتزانه تصبح القوة المحصلة المؤثرة في النظام لا تساوي صفرًا، وتعمل هذه القوة المحصلة على إعادة الجسم في اتجاه موضع الاتزان. وإذا كانت القوة التي تعيد الجسم إلى موضع اتزانه تتناسب طرديًا مع إزاحة الجسم فإن الحركة الناتجة تسمى حركة توافقية بسيطة.
هناك كميتان تصفان الحركة التوافقية البسيطة، هما:
الزمن الدوري T: وهو الزمن الذي يحتاج إليه الجسم ليكمل دورة كاملة من الحركة ذهابًا وإيابًا.
سعة الاهتزازة A: وهي أقصى مسافة يتحركها الجسم مبتعدًا عن موضع الاتزان.
الكتلة المعلقة بنابض The Mass on a Spring
كيف يتفاعل النابض مع القوة المؤثرة فيه؟ يبين الشكل 2-1a دعامة معلقًا بها نابض دون تعليق أي شيء في نهايته. والنابض في هذا الموضع لا يستطيل؛ لأنه لا توجد قوة خارجية تؤثر فيه.
أما الشكل 2-1b فيبين النابض نفسه معلقًا في نهايته جسم وزنه mg، وقد استطال النابض إزاحة x؛ بحيث توازن قوة النابض المؤثرة إلى أعلى قوة الجاذبية الأرضية المؤثرة إلى أسفل.
ويبين الشكل 2-1c استطالة أو تمدد النابض نفسه بإزاحة مقدارها 2x؛ وذلك عند تعليق ضعف الوزن السابق 2mg في نهايته. وهذا يتفق مع قانون هوك الذي ينص على أن القوة التي يؤثر بها نابض تتناسب طرديًا مع مقدار استطالته، والنوابض التي تنطبق عليها هذه الحالة تسمى نوابض مرنة وتحقق قانون هوك، المعبر عنه بالعلاقة الآتية:
قانون هوك
F = -kx
القوة التي يؤثر بها نابض تساوي حاصل ضرب ثابت النابض في الإزاحة التي يستطيلها أو ينضغطها النابض عن موضع اتزانه.
في هذه المعادلة تمثل k ثابت النابض الذي يعتمد على صلابة النابض وخصائص أخرى له، وتمثل x الإزاحة التي يستطيلها أو ينضغطها النابض عن موضع اتزانه.
الشكل 2-1
تتناسب القوة التي يؤثر بها نابض طرديًا مع الإزاحة التي يستطيلها.
طاقة الوضع
عندما تؤثر قوة ما لاستطالة نابض، مثل تعليق جسم في نهايته، فسيكون هناك علاقة طردية خطية بين القوة المؤثرة واستطالة النابض، كما يوضح الشكل 2-2، حيث يمثل ميل الخط البياني ثابت النابض، مقاسًا بوحدة N/m. وتمثل المساحة تحت المنحنى الشغل المبذول لاستطالة النابض، وهي تساوي طاقة الوضع المرونية المختزنة فيه نتيجة لهذا الشغل.
وتمثل قاعدة المثلث الإزاحة x، أما ارتفاع المثلث فيمثل مقدار القوة التي تساوي kx وفق قانون هوك؛ لذا يعبر عن طاقة الوضع المرونية المختزنة في النابض بالمعادلة الآتية:
طاقة الوضع المرونية في نابض
PEsp = 1/2 kx²
طاقة الوضع المرونية في نابض تساوي نصف حاصل ضرب ثابت النابض في مربع إزاحته.
وستكون وحدة طاقة الوضع N.m أو جول J.
الشكل 2-2
يمكن تحديد ثابت النابض من العلاقة البيانية بين القوة المؤثرة وإزاحة النابض.
كيف تعتمد القوة المحصلة على الموضع؟
عند تعليق جسم بنهاية نابض يستطيل النابض حتى توازن القوة الرأسية إلى أعلى Fsp وزن الجسم Fg كما في الشكل 2-3a، وسيكون الجسم عندئذ في موضع اتزانه.
وإذا سحبت الجسم المعلق إلى أسفل كما في الشكل 2-3b تزداد قوة النابض، منتجة قوة محصلة إلى أعلى تساوي قوة السحب عن طريق يدك، إضافة إلى وزن الجسم. وعندما تترك الجسم حرًا فإنه يتسارع إلى أعلى كما في الشكل 2-3c.
وعند حركة الجسم إلى أعلى تتناقص استطالة النابض؛ لذا تتناقص القوة المتجهة إلى أعلى.
وفي الشكل 2-3d تتساوى قوة النابض إلى أعلى مع وزن الجسم، وتصبح القوة المحصلة صفرًا، فلا يتسارع النظام، ويستمر الجسم في حركته إلى أعلى فوق موضع الاتزان.
وفي الشكل 2-3e تكون القوة المحصلة معاكسة لاتجاه إزاحة الجسم، وتتناسب طرديًا معها؛ لذا يتحرك الجسم حركة توافقية بسيطة، ويعود إلى موضع اتزانه كما في الشكل 2-3f.
الشكل 2-3
توضح الحركة التوافقية البسيطة من خلال اهتزاز جسم معلق بنابض.
مثال 1
ثابت النابض والطاقة المختزنة فيه
استطال نابض إزاحة 18 cm عندما علق بنهايته كيس بطاطس وزنه 56 N. احسب مقدار:
a. ثابت النابض.
b. طاقة الوضع المرونية المختزنة في النابض والناتجة عن هذه الاستطالة.
1 تحليل المسألة ورسمها
مثل الوضع.
بين الإزاحة التي استطالها النابض وموضع اتزانه، وحددهما.
المعلوم
x = 18 cm
F = 56 N
المجهول
k = ?
PEsp = ?
2 إيجاد الكمية المجهولة
a. استخدم:
F = -kx
ثم أوجد قيمة k:
k = F / x
يمكن حذف إشارة السالب؛ لأنها تعني أن القوة قوة إرجاع فقط.
عوض مستخدمًا:
F = 56 N
x = 0.18 m
k = 56 N / 0.18 m = 310 N/m
b. طاقة الوضع المرونية:
PEsp = 1/2 kx²
عوض مستخدمًا:
k = 310 N/m
x = 0.18 m
PEsp = 1/2 (310 N/m)(0.18 m)²
PEsp = 5.0 J
3 تقويم الجواب
هل الوحدات صحيحة؟
N/m هي الوحدة الصحيحة لثابت النابض، والوحدة الصحيحة للطاقة هي:
(N/m)(m²) = N.m = J
هل الجواب منطقي؟
ثابت النابض متناسق مع القيم المستخدمة في ميزان البقالة مثلًا. الطاقة 5.0 J تساوي القيمة التي نحصل عليها من:
W = Fx = mgh
عندما يكون متوسط القوة المؤثرة 28 N.
مسائل تدريبية
- ما مقدار استطالة نابض عند تعليق جسم وزنه 18 N في نهايته إذا كان ثابت النابض له يساوي 56 N/m؟
- ما مقدار طاقة الوضع المرونية المخزنة في نابض عند ضغطه بإزاحة مقدارها 16.5 cm، إذا كان ثابت النابض له يساوي 144 N/m؟
- ما الإزاحة التي يستطيلها نابض حتى يخزن طاقة وضع مرونية مقدارها 48 J، إذا كان ثابت النابض له يساوي 256 N/m؟
عندما تحرر القوة الخارجية الجسم الذي كانت تمسكه، كما في الشكل 2-3c تكون القوة المحصلة المؤثرة في الجسم والتسارع أكبر ما يمكن، أما السرعة المتجهة فتساوي صفرًا.
وعندما يمر الجسم بنقطة الاتزان كما في الشكل 2-3d تصبح القوة المحصلة المؤثرة فيه صفرًا، وكذلك التسارع. فهل يتوقف الجسم؟ لا؛ لأن الجسم يحتاج إلى أن تؤثر فيه قوة محصلة إلى أسفل لإبطاء حركته، وهذا لن يحدث ما لم يرتفع الجسم فوق موضع الاتزان.
وعندما يصل الجسم إلى أعلى نقطة في اهتزازته تعود القوة المحصلة والتسارع إلى قيمتيهما العظميين، وتصبح السرعة المتجهة صفرًا، فيتحرك الجسم إلى أسفل مارًا بموضع الاتزان إلى نقطة البداية، ويستمر في الحركة بهذه الطريقة الاهتزازية. ويعتمد الزمن الدوري للاهتزازة T على مقدار كل من كتلة الجسم ومرونة النابض.
السيارات
تعد طاقة الوضع المرونية عاملًا مهمًا في تصميم السيارات الحديثة وصناعتها، ففي كل سنة تختبر تصاميم جديدة للسيارات؛ لتحديد مدى قدرتها على تحمل الصدمات والاحتفاظ بهيكلها، ويعتمد ذلك على مقدار الطاقة الحركية للسيارة قبل التصادم والتي تتحول إلى طاقة وضع مرونية في الهيكل بعد التصادم.
وتحتوي معظم ماصات الصدمات على نوابض خاصة تخزن الطاقة عندما تصدم السيارات حاجزًا بسرعات قليلة. وبعد توقف السيارة وانضغاط النوابض، فإنها تعود إلى مواضع اتزانها، وترتد السيارة عن الحاجز.
البندول البسيط Simple Pendulums
يمكن توضيح الحركة التوافقية البسيطة أيضًا من خلال حركة تأرجح البندول. حيث يتكون البندول البسيط من جسم صلب كثافته عالية يسمى ثقل البندول، معلق بخيط طوله l.
وعند سحب ثقل البندول جانبًا وتركه فإنه يتأرجح جيئة وذهابًا، كما في الشكل 2-4، حيث يؤثر الخيط بقوة شد FT في ثقل البندول وتؤثر الجاذبية الأرضية أيضًا في الثقل بقوة Fg، والجمع الاتجاهي لهاتين القوتين يمثل القوة المحصلة، وقد تم تمثيلها في ثلاثة مواضع مختلفة في الشكل 2-4.
ففي الموضعين الأيمن والأيسر في الشكل 2-4 تكون القوة المحصلة المؤثرة في ثقل البندول وتسارعه أكبر ما يمكن، بينما سرعته المتجهة صفرًا. وفي الموضع الوسط، الاتزان، في الشكل نفسه تكون القوة المحصلة والتسارع صفرًا، بينما السرعة المتجهة أكبر ما يمكن.
الشكل 2-4
F المحصلة = المجموع المتجه لـ Fg و FT، وهي القوة المعيدة، الإرجاع، في البندول.
يمكنك أن تلاحظ أن القوة المحصلة هي قوة إرجاع؛ حيث تكون دائمًا معاكسة لاتجاه إزاحة ثقل البندول، وتعمل على إرجاع الثقل إلى موضع اتزانه. وعندما تكون زاوية انحراف الخيط صغيرة، أقل من 15° تقريبًا، فإن قوة الإرجاع تتناسب طرديًا مع الإزاحة، ويطلق على هذه الحركة حينئذ حركة توافقية بسيطة.
ويحسب الزمن الدوري للبندول باستخدام المعادلة الآتية:
الزمن الدوري للبندول
T = 2π √(l / g)
الزمن الدوري للبندول يساوي 2π مضروبة في الجذر التربيعي لحاصل قسمة طول خيط البندول على تسارع الجاذبية الأرضية.
لاحظ أن الزمن الدوري للبندول البسيط يعتمد فقط على طول خيط البندول وتسارع الجاذبية الأرضية، ولا يعتمد على كتلة ثقل البندول أو سعة الاهتزازة. ومن التطبيقات على البندول استخدامه في حساب g التي تتغير قليلًا من موقع إلى آخر على سطح الأرض.
مثال 2
استخدام البندول لحساب g
إذا كان الزمن الدوري لبندول طوله 36.9 cm يساوي 1.22 s، فما مقدار تسارع الجاذبية الأرضية g عند موقع البندول؟
1 تحليل المسألة ورسمها
مثل الوضع.
وضح طول البندول على الرسم.
المعلوم
l = 36.9 cm
T = 1.22 s
المجهول
g = ?
2 إيجاد الكمية المجهولة
T = 2π √(l / g)
حل المعادلة لحساب g:
g = (2π)² l / T²
عوض مستخدمًا:
l = 0.369 m
T = 1.22 s
g = 4π²(0.369 m) / (1.22 s)²
g = 9.78 m/s²
3 تقويم الجواب
هل الوحدات صحيحة؟
m/s² هي الوحدة الصحيحة للتسارع.
هل الجواب منطقي؟
قيمة g المحسوبة كانت قريبة جدًا من القيمة المعيارية 9.80 m/s²، وبالتالي يكون البندول في منطقة أعلى من مستوى سطح البحر.
مسائل تدريبية
- ما طول بندول موجود على سطح القمر حيث g = 1.6 m/s² حتى يكون الزمن الدوري له 2.0 s؟
- إذا كان الزمن الدوري لبندول طوله 0.75 m يساوي 1.8 s على سطح أحد الكواكب، فما مقدار g على هذا الكوكب؟
مسألة تحفيز
سيارة كتلتها m kg تستقر على قمة تل ارتفاعه h m قبل أن تهبط على طريق عديم الاحتكاك في اتجاه حاجز تصادم عند أسفل التل. فإذا احتوى حاجز التصادم على نابض مقدار ثابته يساوي k N/m، مصمم على أن يوقف السيارة بأقل الأضرار.
- بين أقصى إزاحة x ينضغطها النابض عندما تصطدم به السيارة بدلالة m و h و k و g.
- كم ينضغط النابض إذا هبطت السيارة من قمة تل ارتفاعه ضعف ارتفاع التل السابق؟
- ماذا يحدث بعد أن تتوقف السيارة؟
الرنين Resonance
لكي تجعل أرجوحة تتأرجح وأنت جالس عليها قم بدفعها بالانحناء إلى الخلف وسحب الحبل، أو السلسلة، من النقطة نفسها في كل شوط، أو أن يدفعك زميلك دفعات متكررة في اللحظات المناسبة.
ويحدث الرنين عندما تؤثر قوى صغيرة في جسم متذبذب أو مهتز في فترات زمنية منتظمة، بحيث تؤدي إلى زيادة سعة الاهتزازة أو الذبذبة، وتكون الفترة الزمنية الفاصلة بين تطبيق القوة على الجسم المهتز مساوية للزمن الدوري للذبذبة.
ومن الأمثلة الشائعة على الرنين أرجحة السيارة إلى الأمام والخلف من أجل تحرير عجلاتها من الرمل عندما تنغمر فيه، والقفز المتواتر عن لوح القفز أو الغوص. وقد ينتج عن السعة الكبيرة الناتجة عن الرنين شعور بالإجهاد.
ويعد الرنين شكلًا مميزًا للحركة التوافقية البسيطة؛ حيث تؤدي زيادات بسيطة في مقدار القوة في أزمنة محددة في أثناء حركة الجسم إلى زيادة أكبر في الإزاحة. فالرنين الناتج عن حركة الرياح مثلًا بتوافقها مع تصميم دعائم الجسر قد يكون السبب وراء انهيار جسر مضيق تاكوما.
تطبيق الفيزياء
بندول فوكو Foucault Pendulum
يتكون بندول فوكو من سلك طوله 16 m معلق بنهايته كتلة كبيرة مقدارها 109 kg. ووفق القانون الأول لنيوتن في الحركة يستمر البندول المتأرجح في الحركة في الاتجاه نفسه ما لم يسحب أو يدفع في اتجاه آخر.
وبما أن الأرض تدور تحت البندول كل 24 ساعة، فإن اتجاه ذبذبة البندول يظهر متغيرًا بالنسبة للمشاهد. ولبيان ذلك قم بما يلي: رتب أوتادًا خشبية في دائرة على الأرض تحت البندول المتأرجح على أن يضربها ثقل البندول ويوقعها مع دوران الأرض.
ويدور البندول عند القطب الشمالي ظاهريًا بمعدل 15°/h.
2-1 مراجعة
- قانون هوك: علقت أجسام مختلفة الوزن بنهاية شريط مطاطي مثبت بخطاف، ثم رسمت العلاقة البيانية بين وزن الأجسام المختلفة واستطالة الشريط المطاطي. كيف تستطيع الحكم، اعتمادًا على الرسم البياني، ما إذا كان الشريط المطاطي يحقق قانون هوك أم لا؟
- البندول: ما مقدار التغير اللازم في طول بندول حتى يتضاعف زمنه الدوري إلى الضعف؟ وما مقدار التغير اللازم في طوله حتى يقل زمنه الدوري إلى نصف زمنه الدوري الأصلي؟
- طاقة النابض: ما الفرق بين الطاقة المختزنة في نابض استطال 0.40 m والطاقة المختزنة في النابض نفسه عندما يستطيل 0.20 m؟
- الرنين: إذا كانت عجلات سيارة غير متوازنة فسوف تهتز السيارة بقوة عند سرعة محددة، ولا يحدث ذلك عند سرعات أقل أو أكبر من هذه السرعة. فسر ذلك.
- التفكير الناقد: ما أوجه الشبه بين الحركة الدائرية المنتظمة والحركة التوافقية البسيطة؟ وما أوجه الاختلاف بينهما؟
جاري تحضير الدرس المعاد صياغته وبناء الأنماط
نحافظ على المعنى العلمي ونربط كل فقرة بنواتجها ومفاهيمها.
إعادة إنتاج الدرس حسب نمط التعلم
طلب واحد ينتج المسارات البصري والسمعي والحركي والقرائي معًا، بصياغة تراعي سياق المناهج السعودية.
اختر نمط التعلم
تُنتج الأنماط الأربعة دفعة واحدة، ثم تُستدعى الحزمة المحفوظة في الزيارات التالية.