درس السقوط الحر بالترتيب

درس السقوط الحر بالترتيب

3-3 السقوط الحر

Free Fall

الأهداف

• تعرف التسارع الناتج عن الجاذبية الأرضية.
• تحل مسائل تتضمن أجساماً تسقط سقوطاً حراً.

المفردات

• السقوط الحر.
• التسارع الناتج عن الجاذبية الأرضية.

أسقط ورقة صحيفة على الأرض، ثم لفّها على شكل كرة متماسكة وأعد إسقاطها. أسقط حصاة بالطريقة نفسها. كيف تقارن بين حركة الأجسام الثلاثة؟ هل تسقط الأجسام جميعها بالسرعة نفسها؟

لا يسقط الجسم الخفيف والمنبسط، مثل ورقة الصحيفة المستوية أو ورشة الطائر، بالكيفية نفسها التي يسقط بها شيء ثقيل مساحته السطحية صغيرة، مثل الحصاة. لماذا؟ عندما يسقط جسم فإنه يتصادم بجزيئات الهواء، وتؤثر هذه التصادمات العشوائية في سرعته. وعند إسقاط الجسم الخفيف والمنبسط، مثل الورشة، بشكل أكبر من تأثيرها في سرعة هبوط أجسام أثقل نسبياً ومساحة سطحها أقل، مثل الحصاة. لفهم سلوك الأجسام الساقطة، نتناول الحالة الأبسط، وهي حركة جسم، كحجر مثلاً، بإهمال تأثير الهواء في حركته. إن المصطلح المستخدم لوصف حركة مثل هذه الأجسام هو السقوط الحر، وهو حركة جسم تحت تأثير الجاذبية الأرضية فقط، وبإهمال تأثير مقاومة الهواء.

التسارع في مجال الجاذبية الأرضية

Acceleration Due to Gravity

قبل حوالي أربعة أعوام تقريباً أدرك جاليليو جاليلي أنه لكي يحدث تقدماً في دراسة حركة الأجسام الساقطة يجب عليه إهمال تأثيرات المادة التي يسقط عليها الجسم خلالها. وفي ذلك الزمن لم يكن لدى جاليليو الوسائل التي تمكنه من أخذ بيانات مواقع الأجسام الساقطة أو سرعتها، لذا قام بدحرجة كرات على مستويات مائلة. وبهذه الطريقة تمكن من تقليل تسارع الأجسام، وهذا مكنه من الحصول على قياسات دقيقة باستخدام أدواته البسيطة.

استنتج جاليليو أن جميع الأجسام التي تسقط سقوطاً حراً يكون لها التسارع نفسه. عند إهمال تأثير مقاومة الهواء، أي أن هذا التسارع لا يتأثر بأي من نوع مادة الجسم الساقط أو وزن هذا الجسم، أو الارتفاع الذي أسقط منه، أو كون الجسم قد أسقط أو قذف. ويرمز لتسارع الأجسام الساقطة بالرمز g، وتتغير قيمته تغيرات طفيفة في أماكن مختلفة على الأرض، والقيمة المتوسطة له:

g = 9.80 m/s²

التسارع الناتج عن الجاذبية الأرضية هو تسارع جسم يسقط سقوطاً حراً نتيجة تأثير جاذبية الأرض فيه.

إذا أسقطت صخرة سقوطاً حراً، فبعد مرور 1 s تكون سرعتها المتجهة 9.80 m/s إلى أسفل، وبعد مرور 1 s أخرى تصبح سرعتها المتجهة 19.60 m/s إلى أسفل، وفي كل ثانية تسقط خلالها الصخرة تزداد سرعتها المتجهة إلى أسفل بمعدل 9.80 m/s.

ويعتمد اعتبار التسارع موجباً أو سالباً على النظام الإحداثي الذي يتم اختياره؛ فإذا كان النظام يعتبر الاتجاه إلى أعلى موجباً فإن التسارع الناتج عن الجاذبية الأرضية عندئذ يساوي:

-g

أما إذا اعتبر الاتجاه إلى أسفل هو الاتجاه الموجب فإن التسارع الناتج عن الجاذبية يساوي:

+g

الشكل 3-14

صورة ستروب، تصوير زمني سريع متتابع، لبيضة تتسارع بمقدار 9.80 m/s² في أثناء السقوط الحر. وفقاً لما اختير الاتجاه الموجب إلى أسفل فإن كلاً من السرعة المتجهة والتسارع لهذه البيضة التي تسقط سقوطاً حراً يكون موجباً.

يبين الشكل 3-14 مخططاً توضيحياً لحركة بيضة تسقط سقوطاً حراً التقطت باستخدام تقنية خاصة، حيث إن الفترة الزمنية بين اللقطات هي 0.06 s. ويظهر من الشكل أن الإزاحة بين كل زوج من اللقطات تزداد، وهذا يعني أن السرعة تزداد. فإذا اعتبر الاتجاه إلى أسفل هو الاتجاه الموجب، فإن الجسم يتحرك في اتجاه سرعة موجبة.

وقد تكون الحركة إلى أعلى عند قذف جسم رأسياً إلى أعلى.

افترض أنك قذفت كرة رأسياً إلى أعلى، إذا اخترت الاتجاه إلى أعلى على أنه الموجب، فإن الكرة تغادر اليد بسرعة متجهة موجبة مقدارها مثلاً:

20.0 m/s

أما التسارع فيكون إلى أسفل؛ أي إن التسارع يكون سالباً، وهو يساوي:

a = -g = -9.80 m/s²

ولأن السرعة المتجهة والتسارع في اتجاهين متعاكسين فإن سرعة الكرة تتناقص، وهذا ينطبق على الصورة.

يبين منحنى السرعة المتجهة - الزمن في الشكل 3-15a تناقص السرعة المتجهة للكرة في أثناء صعودها بمعدل:

9.80 m/s

لكل ثانية. وبعد تقريباً:

2.04 s

تصبح حركة الكرة إلى أسفل، وتزداد سرعتها المتجهة تدريجياً في الاتجاه السالب.

ويظهر الشكل 3-15b لقطة مقربة لهذه الحركة. لكن العلاقة بين إزاحة الكرة وسرعتها المتجهة تبين من الشكلين 3-15c و 3-15d أن الكرة تصل إلى أقصى ارتفاع لها في اللحظة التي تصبح فيها سرعتها المتجهة صفراً، ولكن تسارعها لا يساوي صفراً، إذ يبقى ثابتاً ويساوي مقدارياً:

9.80 m/s²

كما يتضح من ميل الخط البياني في الشكلين 3-15a و 3-15b.

الشكل 3-15

في نظام إحداثي اتجاهه الموجب إلى أعلى:

a و b: تتناقص سرعة الكرة المقذوفة إلى أعلى حتى تصبح صفراً بعد زمن 2.04 s، ثم تتزايد سرعتها في الاتجاه السالب في أثناء سقوطها.
c و d: تظهر الرسومات البيانية لمنحنى الإزاحة - الزمن ارتفاع الكرة مع فترات زمنية مطابقة.

عندما يُسأل الناس عن تسارع جسم عند أقصى ارتفاع له في أثناء قذفه فإنهم في العادة لا يأخذون وقتاً كافياً لتحليل الموقف، فتكون إجابتهم أن التسارع يساوي صفراً، وهذا ليس صحيحاً بالطبع. فعند أقصى ارتفاع تساوي السرعة المتجهة للكرة صفراً، ولكن ماذا يحدث لو كان تسارعها أيضاً يساوي صفراً؟ عندئذ لن تتغير السرعة المتجهة للكرة، وستبقى 0.0 m/s، هذا يعني أن الكرة تبقى ساكنة في الهواء إلى الأبد. ولكن ما يحدث للكرة المقذوفة إلى أعلى ببساطة معلقة في الهواء عند أقصى ارتفاع لها، ولأن الأجسام المقذوفة إلى أعلى لا تبقى معلقة، فسوف تستنتج أن تسارع الجسم عند نقطة أقصى ارتفاع لطيرانه يجب ألا يساوي صفراً، وأن اتجاهه يجب أن يكون إلى أسفل.

عربات السقوط الحر

يستخدم مفهوم السقوط الحر في تصميم ألعاب في مدن الألعاب، بحيث تعطي راكبيها الإحساس بالسقوط الحر. ويمر الراكب في مثل هذه الألعاب من الألعاب بثلاث مراحل، هي:

• الصعود إلى أعلى.
• التعلق لحظياً.
• السقوط بحرية.

حيث تعمل محركات على توفير القوة اللازمة لتحريك عربات لعبة السقوط الحر إلى أعلى المسار. وعند سقوط هذه العربات سقوطاً حراً يكون للشخص الأكبر كتلة والشخص الأقل كتلة التسارع نفسه.

افترض أن إحدى عربات السقوط الحر في مدينة الألعاب سقطت سقوطاً حراً من السكون مدة:

1.5 s

مع اعتبار الاتجاه إلى أسفل موجباً. إذا تمثل نقطة الأصل في النظام الإحداثي عند نقطة الانطلاق الابتدائي للعربة، فإن العربة بدأت الحركة من السكون، إذن:

vi = 0

استخدم معادلة السرعة المتجهة بدلالة التسارع الثابت لحساب السرعة المتجهة النهائية للعربة:

vf = vi + gtf

vf = 0.00 m/s + (-9.80 m/s²)(1.5 s)

vf = -15 m/s

ما الإزاحة التي قطعتها العربة خلال هذه الفترة؟ بما أن الزمن والإزاحة معلومان فإننا نستخدم معادلة الإزاحة:

df = di + vi tf + 1/2 gt²f

df = 0.00 m + (0.00 m/s)(1.5 s) + 1/2 (-9.80 m/s²)(1.5 s)²

df = -11 m

مسألة تحفيز

شاهدت بالوناً مملوءاً بالماء يسقط أمام نافذة صفك. فإذا استغرقت البالون 1 ثانية، ليسقط مسافة تساوي 6.4 m في أثناء النافذة ومقدارها 0.85 m. افترض أن البالون بدأ حركته من السكون، فما الارتفاع الذي يسقطه منه قبل أن يصل إلى الحافة العليا للنافذة بدلالة كل من:

g و y و t

وثوابت عددية؟

مسائل تدريبية

• أسقط عامل بناء عرضاً قطعة قرميد من سطح بناية.

a. ما سرعة القطعة بعد 4.0 s؟
b. ما المسافة التي تقطعها القطعة خلال هذا الزمن؟
c. كيف تختلف إجابتك عن المسألة إذا قمت باختيار النظام الإحداثي بحيث يكون الاتجاه المعاكس هو الاتجاه الموجب؟

• أسقط طالب كرة من نافذة ترتفع 3.5 m عن الرصيف. ما سرعتها لحظة ملامستها أرضية الرصيف؟

• قذفت كرة من رأسياً إلى أعلى بسرعة ابتدائية 22.5 m/s، وتم الإمساك بها عند الارتفاع نفسه الذي قذفت منه.

a. احسب الارتفاع الذي وصلت إليه الكرة.
b. ما الزمن الذي استغرقته الكرة في الهواء؟

إرشاد: الزمن الذي تستغرقه الكرة في الصعود يساوي الزمن الذي تستغرقه في الهبوط.

• رميت كرة بشكل رأسي إلى أعلى، وكان أقصى ارتفاع وصلت إليه 0.25 m.

a. ما السرعة الابتدائية للكرة؟
b. إذا أمسكت الكرة عند عودتها إلى الارتفاع نفسه الذي أطلقت منه، فما الزمن الذي استغرقته في الهواء؟

3-3 مراجعة

• أقصى ارتفاع وزمن التحليق

إذا كان تسارع الجاذبية على سطح المريخ يساوي ثلث تسارع الجاذبية على سطح الأرض، ثم قذفت كرة إلى أعلى من فوق سطح كل من المريخ والأرض بالسرعة نفسها:

a. قارن بين أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة على سطح المريخ وعلى سطح الأرض.
b. قارن بين زمني التحليق.

• السرعة والتسارع

افترض أنك قذفت كرة إلى أعلى، صف التغيرات في كل من سرعة الكرة المتجهة وتسارعها.

• السرعة النهائية

أسقط أخوك، بناءً على طلبك، مفاتيح المنزل من نافذة الطابق الثاني. فإذا التقطتها على بعد 4.3 m من نقطة السقوط، فاحسب سرعة المفاتيح عند التقاطك لها.

• السرعة المتجهة الابتدائية وأقصى ارتفاع

يتدرب طالب على ركل كرة القدم رأسياً إلى أعلى، وتعود الكرة إثر كل ركلة لتصطدم بقدمه. إذا استغرقت الكرة من لحظة ركلها حتى اصطدامها بقدمه:

3.0 s

a. فما السرعة المتجهة الابتدائية للكرة؟
b. ما الارتفاع الذي وصلت إليه الكرة بعد أن ركلها الطالب؟

• التفكير الناقد

عند قذف كرة رأسياً إلى أعلى، تستمر في الارتفاع حتى تصل إلى موقع معين، ثم تسقط في خط مستقيم إلى أسفل، وتكون سرعتها المتجهة اللحظية عند أقصى ارتفاع صفراً. هل تسارع الكرة عند أقصى ارتفاع يساوي صفراً؟ صمم تجربة لإثبات صحة أو خطأ إجابتك.