درس الحركة بتسارع ثابت
درس الحركة بتسارع ثابت
3-2 الحركة بتسارع ثابت
Motion with Constant Acceleration
الأهداف
- تفسر منحنى الموقع - الزمن للحركة ذات التسارع الثابت.
- تحدد العلاقات الرياضية التي تربط بين كل من الموقع والسرعة والتسارع والزمن.
- تطبق علاقات بيانية ورياضية لحل المسائل التي تتعلق بالتسارع الثابت.
يمكن معالجة المعادلات الرياضية لكل من السرعة المتوسطة والتسارع المتوسط لإيجاد الموقع الجديد والسرعة الجديدة على الترتيب بعد فترة زمنية ما، وذلك بدلالة بقية المتغيرات.
السرعة المتجهة بدلالة التسارع المتوسط
Velocity with Average Acceleration
يمكنك استخدام التسارع المتوسط لجسم خلال فترة زمنية لتعيين مقدار التغير في سرعته المتجهة خلال هذا الزمن. ويعرف التسارع المتوسط:
a = Δv / Δt
ويمكن إعادة كتابته بالصورة:
Δv = a Δt
vf - vi = a Δt
لذا فإن العلاقة بين السرعة المتجهة النهائية والتسارع المتوسط يمكن كتابتها على النحو الآتي:
السرعة المتجهة النهائية بدلالة التسارع المتوسط
vf = vi + a Δt
السرعة المتجهة النهائية تساوي السرعة المتجهة الابتدائية مضافاً إليها حاصل ضرب التسارع المتوسط في الفترة الزمنية.
في الحالات التي يكون فيها التسارع ثابتاً يكون التسارع المتوسط a مساوياً للتسارع اللحظي a. ويمكن إعادة ترتيب هذه المعادلة لإيجاد الزمن أو السرعة الابتدائية لجسم.
مسائل تدريبية
- تتدحرج كرة جولف إلى أعلى تل في اتجاه حفرة الجولف. افترض أن الاتجاه نحو الحفرة هو الاتجاه الموجب، وأجب عما يأتي:
a. إذا انطلقت كرة الجولف بسرعة 2.0 m/s، وتباطأت بمعدل ثابت 0.50 m/s²، فما سرعتها بعد مضي 2.0 s؟
b. ما سرعة كرة الجولف إذا استمر التسارع الثابت مدة 6.0 s؟
c. صف حركة كرة الجولف بالكلمات، ثم باستخدام نموذج الجسم النقطي.
- تسير حافلة بسرعة 30.0 km/h، فإذا زادت سرعتها بمعدل ثابت مقداره 3.5 m/s²، فما السرعة التي تصل إليها الحافلة بعد 6.8 s؟
- إذا تسارعت سيارة من السكون بمقدار ثابت 5.5 m/s²، فما الزمن اللازم لتصل سرعتها إلى 28 m/s؟
- تتباطأ سيارة سرعتها 22 m/s بمعدل ثابت مقداره 2.1 m/s². احسب الزمن الذي تستغرقه السيارة لتصبح سرعتها 3.0 m/s.
الجدول 3-2
بيانات الموقع - الزمن للسيارة
| الزمن t (s) | الموقع d (m) |
| ----------- | ------------ |
| 0.00 | 0.00 |
| 1.00 | 2.50 |
| 2.00 | 10.0 |
| 3.00 | 22.5 |
| 4.00 | 40.0 |
| 5.00 | 65.0 |
الشكل 3-9
يزداد ميل الخط البياني لمنحنى الموقع - الزمن لسيارة تتحرك بتسارع ثابت كلما زاد زمن الحركة.
الموقع بدلالة التسارع الثابت
Position with Constant Acceleration
توصلت إلى أن الجسم الذي يتحرك بتسارع ثابت يغير سرعته المتجهة بمعدل ثابت. ولكن كيف يتغير موقع الجسم المتحرك بتسارع ثابت؟
يبين الجدول 3-2 بيانات الموقع عند فترات زمنية مختلفة لسيارة تتحرك بتسارع ثابت. وقد مثلت بيانات الجدول 3-2 بالرسم البياني الموضح في الشكل 3-9، حيث يظهر من الرسم البياني أن حركة السيارة غير منتظمة؛ فالإزاحات خلال فترات زمنية متساوية على الرسم تصبح أكبر فأكبر. لاحظ كذلك أن ميل الخط في الشكل 3-9 يزداد كلما زاد الزمن.
ويمكن استخدام ميل الخطوط من منحنى الموقع - الزمن لرسم منحنى السرعة المتجهة - الزمن.
لاحظ أن ميل كل من الخطين الموضحين في الشكل 3-9 يطابق السرعة المتجهة الممثلة بيانياً في الشكل 3-10a. لكن لا يمكنك رسم منحنى جيد للموقع - الزمن باستخدام منحنى السرعة المتجهة - الزمن؛ لأن الأخير لا يحتوي على أي معلومات حول كيف يتغير الموقع. ومع ذلك فهو يحتوي على معلومات عن إزاحته.
تذكر أن السرعة المتجهة لجسم يتحرك حركة منتظمة تحسب بالعلاقة:
v = Δd / Δt
أي أن:
Δd = v Δt
يوضح الشكل 3-10b منحنى السرعة المتجهة - الزمن لجسم يتحرك بسرعة منتظمة. وبدراسة الشكل تحت الخط البياني للمنحنى المظلل تجد أن عرض المستطيل يمثل الفترة الزمنية لحركة الجسم Δt، بينما يمثل ارتفاع المستطيل سرعته المتجهة v. لذلك فإن مساحة المستطيل تمثل حاصل ضرب السرعة المتجهة في الزمن، أي تمثل الإزاحة Δd.
الشكل 3-10
a. يماثل كل من مماسات منحنى الموقع - الزمن في الشكل 3-9 منحنى السرعة المتجهة - الزمن.
b. الإزاحة خلال فترة زمنية معينة تساوي المساحة تحت منحنى السرعة المتجهة - الزمن.
مثال 3
إيجاد الإزاحة من منحنى السرعة المتجهة - الزمن
يبين الرسم البياني أدناه منحنى السرعة المتجهة - الزمن لحركة طائرة. أوجد إزاحة الطائرة خلال الفترة الزمنية Δt = 1.0 s، ثم خلال الفترة الزمنية Δt = 2.0 s.
1 تحليل المسألة ورسمها
- الإزاحة تساوي المساحة تحت منحنى السرعة المتجهة - الزمن.
- نبدأ الفترة الزمنية من اللحظة t = 0.0 s.
المعلوم:
v = +75 m/s
Δt = 1.0 s
Δt = 2.0 s
المجهول:
Δd = ?
2 إيجاد الكمية المجهولة
أوجد الإزاحة خلال 1.0 s:
Δd = v Δt
= (+75 m/s)(1.0 s)
= +75 m
بالتعويض:
v = +75 m/s
Δt = 1.0 s
أوجد الإزاحة خلال 2.0 s:
Δd = v Δt
= (+75 m/s)(2.0 s)
= +150 m
بالتعويض:
v = +75 m/s
Δt = 2.0 s
دليل الرياضيات
إجراء العمليات الحسابية باستعمال الأرقام المعنوية.
3 تقويم الجواب
- هل الوحدات صحيحة؟ تقاس الإزاحة بالأمتار.
- هل للإشارات معنى؟ تتفق الإشارات الموجبة مع الرسم البياني.
- هل الجواب منطقي؟ قطع مسافة مساوية تقريباً لطول ملعب كرة قدم خلال ثانيتين منطقي بالنسبة إلى سرعة الطائرة.
مسائل تدريبية
- استخدم الشكل 3-11 لتعيين السرعة المتجهة لطائرة تزيد سرعتها عند كل من الأزمنة الآتية:
a. 1.0 s
b. 2.0 s
c. 2.5 s
الشكل 3-11
منحنى السرعة المتجهة - الزمن لطائرة.
- تسير سيارة بسرعة منتظمة مقدارها 25 m/s مدة 10.0 min، ثم ينفد منها الوقود، فيسير السائق على قدميه في الاتجاه نفسه بسرعة 1.5 m/s مدة 20.0 min ليصل إلى أقرب محطة وقود، وقد استغرق السائق 2.0 min في ملء جالون من البنزين، ثم مشى عائداً إلى السيارة بسرعة 1.2 m/s، وأخيراً تحرك بالسيارة إلى البيت بسرعة 25 m/s في اتجاه معاكس لاتجاه رحلته الأصلية.
a. ارسم منحنى السرعة المتجهة - الزمن معتمداً الثانية وحدة للزمن. ولإيجاد المساحة التي تقطعها السائق إلى محطة الوقود لإيجاد الزمن الذي استغرقه، حتى يعود إلى السيارة.
b. ارسم منحنى الموقع - الزمن باستخدام المساحات تحت منحنى السرعة المتجهة - الزمن.
- يوضح الشكل 3-12 منحنى الموقع - الزمن لحركة حصان في حقل. ارسم منحنى السرعة المتجهة - الزمن الموافق معه، باستخدام مقياس الزمن نفسه.
الشكل 3-12
منحنى الموقع - الزمن لحركة حصان.
توصلت سابقاً إلى أنه يمكن إيجاد الإزاحة من منحنى السرعة المتجهة - الزمن لجسم يتحرك بتسارع ثابت، مستفيداً من كون المساحة تحت المنحنى في الشكل 3-13 تنقسم إلى مستطيل ومثلث.
يمكن إيجاد مساحة المستطيل باستخدام العلاقة:
Δd المستطيل = vi Δt
وإيجاد مساحة المثلث باستخدام العلاقة:
Δd المثلث = 1/2 Δv Δt
ولأن التسارع المتوسط يساوي:
a = Δv / Δt
لذا يمكن كتابة Δv في الصورة:
Δv = a Δt
وبالتعويض في معادلة مساحة المثلث تصبح المعادلة:
Δd المثلث = 1/2 (a Δt) Δt
= 1/2 a Δt²
لذلك فإن المساحة الكلية تحت المنحنى تساوي:
Δd = Δd المستطيل + Δd المثلث
Δd = vi Δt + 1/2 a Δt²
وعندما يكون الموقع الابتدائي di والموقع النهائي df معلومين، يمكن كتابة المعادلة في الصورة الآتية:
df - di = vi Δt + 1/2 a Δt²
الشكل 3-13
يمكن إيجاد إزاحة جسم متحرك بتسارع ثابت بحساب المساحة تحت منحنى السرعة المتجهة - الزمن.
التغير في الموقع بدلالة التسارع المتوسط
إذا كان الزمن الابتدائي ti = 0 فإن التغير في الموقع بدلالة التسارع المتوسط يحسب بالعلاقة الآتية:
Δd = vi t + 1/2 a t²
ويمكن ربط الموقع والسرعة المتجهة والتسارع الثابت في علاقة لا تتضمن الزمن، وذلك بإعادة ترتيب المعادلة:
vf = vi + a t
لنحصل على:
t = (vf - vi) / a
ثم بالتعويض عن قيمة t في المعادلة:
Δd = vi t + 1/2 a t²
نحصل على:
Δd = vi ((vf - vi) / a) + 1/2 a ((vf - vi) / a)²
وهذه المعادلة يمكن حلها لإيجاد السرعة النهائية عند أي زمن؛ حيث إن السرعة بدلالة التسارع الثابت:
vf² = vi² + 2a Δd
السرعة المتجهة بدلالة التسارع الثابت
vf² = vi² + 2a Δd
يمكن تلخيص المعادلات الثلاث للحركة بتسارع ثابت كما في الجدول 3-3.
تطبيق الفيزياء
سباق ربع الميل
يسمى ربع الميل سباقاً خاصاً؛ حيث تختبر القدرة القصوى لسيارة السباق التي تتحرك لتقطع مسافة ربع ميل، الذي طوله 402 m. وقد وصلت سيارة السباق إلى النهاية في زمن مقداره 4.480 s، وبلغت أكبر سرعة نهائية 147.63 m/s.
الجدول 3-3
معادلات الحركة في حالة التسارع الثابت
| المتغيرات | المعادلة |
| ---------------- | -------------------- |
| vi , vf , a , t | vf = vi + a t |
| Δd , vi , t , a | Δd = vi t + 1/2 a t² |
| Δd , vi , vf , a | vf² = vi² + 2a Δd |
مثال 4
انطلقت سيارة من السكون بتسارع ثابت مقداره 3.5 m/s². ما المسافة التي قطعتها عندما تصل سرعتها إلى 25 m/s؟
1 تحليل المسألة ورسمها
- مثل المسألة بالرسم.
- عين محاور الإحداثيات.
- ارسم نموذج الجسم النقطي للحركة.
المعلوم:
di = 0.00 m
vi = 0.00 m/s
vf = 25 m/s
a = 3.5 m/s²
المجهول:
df = ?
2 إيجاد الكمية المجهولة
لإيجاد df نستخدم المعادلة:
vf² = vi² + 2a Δd
vf² = vi² + 2a (df - di)
df = di + (vf² - vi²) / 2a
بالتعويض:
di = 0.00 m
vf = 25 m/s
vi = 0.00 m/s
a = 3.5 m/s²
df = 0.00 m + ((25 m/s)² - (0.00 m/s)²) / 2(3.5 m/s²)
df ≈ 89 m
3 تقويم الجواب
- هل الوحدات صحيحة؟ تقاس الإزاحة بوحدة m.
- هل للإشارات معنى؟ الإشارة الموجبة تتفق مع كل من النموذج التصوري والنموذج الفيزيائي.
- هل الجواب منطقي؟ تبدو الإزاحة كبيرة، ولكن السرعة 25 m/s كبيرة أيضاً، لذلك النتيجة منطقية.
تجربة عملية
كيف تتدرج الحركة؟
ارجع إلى دليل التجارب منصة عين الإثرائية.
مثال 5
مسافة الاستجابة والفرملة
تقود حميدة سيارة بسرعة منتظمة مقدارها 25 m/s، وفجأة رأى طفلاً يركض في الشارع. فإذا كان زمن الاستجابة اللازم للفرامل هو 0.45 s، وقد تباطأت السيارة بتسارع ثابت -8.5 m/s² حتى توقفت، فما المسافة الكلية التي قطعتها السيارة قبل أن تقف؟
1 تحليل المسألة ورسمها
- مثل المسألة بالرسم.
- اعتبر أن اتجاه سير السيارة هو الاتجاه الموجب.
- ارسم مخططاً توضيحياً للحركة، وعين عليه v و a.
المعلوم:
vi الاستجابة = 25 m/s
vf الاستجابة = 25 m/s
t الاستجابة = 0.45 s
vi الفرملة = 25 m/s
vf الفرملة = 0.00 m/s
a الفرملة = -8.5 m/s²
المجهول:
d الاستجابة = ?
d الفرملة = ?
d الكلية = ?
2 إيجاد الكمية المجهولة
الاستجابة: أوجد المسافة التي تتحركها السيارة بسرعة منتظمة:
d الاستجابة = v الاستجابة × t الاستجابة
= (25 m/s)(0.45 s)
= 11 m
الفرملة: أوجد المسافة التي تتحركها السيارة في أثناء عملية الفرملة حتى التوقف:
vf² = vi² + 2a d
d الفرملة = (vf² - vi²) / 2a
بالتعويض:
vi الفرملة = 25 m/s
vf الفرملة = 0.00 m/s
a الفرملة = -8.5 m/s²
d الفرملة = ((0.00 m/s)² - (25 m/s)²) / 2(-8.5 m/s²)
≈ 37 m
المسافة الكلية تساوي مجموع مسافة الاستجابة ومسافة الفرملة:
d الكلية = d الاستجابة + d الفرملة
بالتعويض:
d الاستجابة = 11 m
d الفرملة = 37 m
d الكلية = 11 m + 37 m = 48 m
3 تقويم الجواب
- هل الوحدات صحيحة؟ تقاس الإزاحة بوحدة m.
- هل للإشارات معنى؟ كل من d الاستجابة و d الفرملة موجبة؛ لأنهما في اتجاه الحركة نفسه.
- هل الجواب منطقي؟ مسافة الفرملة صغيرة، لكنها منطقية؛ لأن مقدار التسارع كبير.
مسائل تدريبية
- يتحرك متزلج بسرعة منتظمة 1.75 m/s، وعندما بدأ يصعد مستوى مائلاً تباطأت سرعته وفق تسارع ثابت مقداره -0.20 m/s². ما الزمن الذي استغرقه حتى توقف عند نهاية المستوى المائل؟
- تسير سيارة سباق في حلبة بسرعة 44 m/s، وتتباطأ بمعدل ثابت، بحيث تصل سرعتها إلى 22 m/s خلال 11 s. ما المسافة التي قطعتها السيارة خلال هذا الزمن؟
- تتسارع سيارة بمعدل ثابت من 15 m/s إلى 25 m/s، فتقطع مسافة 125 m. ما الزمن الذي استغرقته السيارة لتصل إلى هذه السرعة؟
- يتحرك راكب دراجة هوائية وفق تسارع ثابت ليصل إلى سرعة مقدارها 7.5 m/s خلال 4.5 s. فإذا كانت إزاحة الدراجة خلال فترة التسارع تساوي 19 m، فأوجد السرعة الابتدائية.
- يركض رجل بسرعة 4.5 m/s مدة 15.0 min، ثم يصعد تلاً بتزايد ارتفاعه فتتغير سرعته بتسارع ثابت مقداره -0.05 m/s² مدة 90.0 s حتى يتوقف. أوجد المسافة التي ركضها.
- يتدرب خالد على ركوب الدراجة الهوائية؛ حيث يدفعه والده فيكتسب تسارعاً ثابتاً مقداره 0.50 m/s² مدة 6.0 s، ثم يقود خالد الدراجة بمفرده بسرعة 3.0 m/s مدة 6.0 s قبل أن يسقط أرضاً. ما مقدار إزاحة خالد؟ ارسم خلال الرحلة منحنى السرعة المتجهة - الزمن، ثم احسب المساحة المحصورة تحته.
- بدأت ركوب دراجتك الهوائية من قمة تل، ثم جعلت في اتجاه أسفل التل بتسارع ثابت 2.00 m/s². وعندما وصلت إلى أسفل التل كانت سرعتك قد بلغت 18.0 m/s. واصلت استخدام دواسات الدراجة لتحافظ على هذه السرعة مدة 1.00 min. ما المسافة التي تقطعها من قمة التل؟
- يتدرب حسن استعداداً للمشاركة في سباق الـ 5.0 km، فإذا تدربه بالركض بسرعة منتظمة مقدارها 4.3 m/s لمدة 19 min، ثم تسارع بمعدل ثابت حتى اجتاز خط النهاية بعد مضي 19.4 s. ما مقدار تسارعه خلال الجزء الأخير من التدريب؟
كما تعلمت، هناك عدة وسائل يمكنك استخدامها في حل مسائل الحركة في بعد واحد، منها: مخططات الحركة، والرسوم البيانية، والمعادلات الرياضية. وكلما اكتسبت المزيد من الخبرة تسهل عليك أن تقرر أي هذه الوسائل أكثر ملاءمة لحل مسألة ما. وفي البند الآتي ستطبق هذه الوسائل لاستقصاء حركة الأجسام الساقطة سقوطاً حراً.
3-2 مراجعة
- التسارع
في أثناء قيادة رجل سيارته بسرعة 23 m/s شاهد غزالاً يقف وسط الطريق، فاستخدم الفرامل عندما كان على بعد 210 m من الغزال. فإذا لم يتحرك الغزال، وتوقفت السيارة قبل أن تمس جسمه، فما مقدار التسارع الذي أحدثته فرامل السيارة؟
- الإزاحة
إذا أعطيت السرعتين المتجهتين الابتدائية والنهائية، والتسارع الثابت لجسم، وطلب إليك إيجاد الإزاحة، فما المعادلة التي ستستخدمها؟
- المسافة
بدأ متزلج حركته من السكون في خط مستقيم، وزادت سرعته إلى 5.0 m/s خلال 4.5 s، ثم استمر في التزلج بهذه السرعة المنتظمة مدة 4.5 s أخرى. ما المسافة الكلية التي تحركها المتزلج على مسار التزلج؟
- السرعة النهائية
تتسارع طائرة بانتظام من السكون بمقدار 5.0 m/s². ما سرعة الطائرة بعد قطعها مسافة 5.0 × 10² m؟
- السرعة النهائية
تتسارع طائرة بانتظام من السكون بمقدار 5.0 m/s² لمدة 14 s. ما السرعة النهائية التي تكتسبها الطائرة؟
- المسافة
بدأت طائرة حركتها من السكون، وتتسارع بمقدار ثابت 3.00 m/s² لمدة 30.0 s قبل أن ترتفع عن سطح الأرض.
a. ما المسافة التي تقطعها الطائرة؟
b. ما سرعة الطائرة لحظة إقلاعها؟
- الرسوم البيانية
يسير عداء نحو خط البداية بسرعة منتظمة، ويأخذ موقعه قبل بدء السباق، وينتظر حتى يسمع صوت طلقة البداية، ثم ينطلق بتسارع حتى يصل إلى سرعة منتظمة، ثم يحافظ على هذه السرعة حتى يجتاز خط النهاية، ثم يتباطأ إلى أن يمشي، فيستغرق في ذلك وقتاً أطول مما استغرقه لزيادة سرعته في بداية السباق. مثل حركة العداء باستخدام الرسم البياني لكل من منحنى السرعة المتجهة - الزمن، ومنحنى الموقع - الزمن. ارسم الرسمين أحدهما فوق الآخر باستخدام مقياس الزمن نفسه، وبين على منحنى الموقع - الزمن مكان كل من نقطة البداية وخط النهاية.
- التفكير الناقد
صف كيف يمكنك أن تحسب تسارع سيارة من أدوات القياس التي تستخدمها.
جاري تحضير الدرس المعاد صياغته وبناء الأنماط
نحافظ على المعنى العلمي ونربط كل فقرة بنواتجها ومفاهيمها.
إعادة إنتاج الدرس حسب نمط التعلم
طلب واحد ينتج المسارات البصري والسمعي والحركي والقرائي معًا، بصياغة تراعي سياق المناهج السعودية.
اختر نمط التعلم
تُنتج الأنماط الأربعة دفعة واحدة، ثم تُستدعى الحزمة المحفوظة في الزيارات التالية.