الموقع والزمن

2-2 الموقع والزمن

Position and Time

الأهداف

• تحدد أنظمة الإحداثيات المستخدمة في مسائل الحركة.
• تدرك أن النظام الإحداثي الذي تختاره يؤثر في إشارة موقع الجسم.
• تعرف الإزاحة.
• تحسب الفترة الزمنية لحركة جسم.
• تستخدم مخططاً توضيحياً للحركة للإجابة عن أسئلة حول جسم إزاحته.

المفردات

• النظام الإحداثي
• نقطة الأصل
• الموقع
• الكميات المتجهة
• الكميات القياسية العددية
• المحصلة
• الفترة الزمنية
• الإزاحة
• المسافة

هل من الممكن أخذ قياسات المسافة والزمن من المخططات التوضيحية للحركة، ومنها المخطط التوضيحي لحركة العداء؟ قبل التقاط الصور يمكنك وضع شريط قياس متري على الأرض على امتداد مسار العداء ليرشدك إلى مكان العداء في كل صورة، ووضع ساعة إيقاف ضمن المنظر الذي تصوره الكاميرا ليقيس لك الزمن. لكن أين يجب أن تضع بداية شريط القياس؟ ومتى يجب أن تبدأ تشغيل ساعة الإيقاف؟

أنظمة الإحداثيات

Coordinate Systems

عندما تقرر أين تضع شريط القياس، ومتى تشغل ساعة الإيقاف، ستكون قد حددت نظام الإحداثيات الذي يحدد موقع نقطة الأصل، النقطة التي تساوي بالنسبة إلى المتغير الذي تدرسه. والأشياء التي تتزايد فيه قيم هذا المتغير. إن نقطة الأصل هي النقطة التي تكون عندها قيمة كل من المتغيرين الموقع والزمن صفراً.

ونقطة الأصل في مثال العداء تمثلها النهاية الصفرية لشريط القياس، الذي يمكن وضعه على بعد ستة أمتار عن يسار الشجرة. والحركة هنا تتم في خط مستقيم؛ لذا يوضع شريط القياس على امتداد هذا الخط المستقيم الذي يمثل أحد محوري النظام الإحداثي. من المعتاد أن تضع شريط القياس بحيث يزداد تدريج القياس المتري من يمين الصفر، كما أن وضعه في الاتجاه المعاكس صحيح أيضاً. في الشكل 2-6a نقطة الأصل للنظام الإحداثي تقع في جهة اليسار.

يمكنك أن تبين بعد العداء عن نقطة الأصل عند لحظة معينة على المخطط التوضيحي للحركة، وذلك برسم سهم من نقطة الأصل إلى النقطة التي تمثل موقع العداء في هذه اللحظة، كما هو مبين في الشكل 2-6b. هذا السهم يمثل موقع العداء، وبما أن طول السهم على بعد الجسم عن نقطة الأصل، ويتجه هذا السهم دوماً من نقطة الأصل إلى موقع الجسم المتحرك.

الشكل 2-6

هذه الأشكال التوضيحية للحركة؛ تقع نقطة الأصل من اليسار.

a. القيم الموجبة للموقع تمتد أفقياً إلى اليمين.
b. السهمان المرسومان من نقطة الأصل إلى نقطتين يحددان موقع العداء في زمنين مختلفين.

لكن هل هناك موقع سالب؟ افترض أنك اخترت نظاماً إحداثياً كالذي وضعته، واخترت نقطة الأصل على بعد 4 m عن يسار الشجرة على محور الموقع الذي يمتد في الاتجاه الموجب نحو اليمين، فإن الموقع الذي يبعد 9 m عن يسار الشجرة يبعد 5 m عن يسار نقطة الأصل، ويكون موقعه سالباً، كما يظهر في الشكل 2-7.

الشكل 2-7

السهم المرسوم على المخطط التوضيحي للحركة يشير إلى موقع سالب.

الكميات الفيزيائية المتجهة والكميات الفيزيائية القياسية العددية

الكميات الفيزيائية التي يتطلب تعيينها تحديد مقدارها واتجاهها وفقاً لنقطة الإسناد، ومنها الإزاحة والقوة، تسمى كميات متجهة، ويمكن تمثيلها بالأسهم. وغالباً ما يعبر عن هذه الكميات بوضع سهم فوق رمز الكمية الفيزيائية المتجهة للدلالة على أنها متجهة، مثل متجه القوة F، وسوف نعتمد في هذا الكتاب استخدام حروف الخط العريض Bold لتمثيل الكميات المتجهة.

أما الكميات الفيزيائية التي يكفي لتعيينها تحديد مقدارها فقط، ومنها المسافة والزمن ودرجة الحرارة، فتسمى كميات قياسية عددية.

تعرفت سابقاً طريقة جمع الكميات العددية. فلو سئل: 0.2 + 0.6 = 0.8. ولكن كيف يمكنك جمع الكميات المتجهة؟ فكر في حل المسألة الآتية: طلب إليك والدك شراء بعض الأشياء وأخذها إلى منزل جدك، فمشيت مسافة 0.5 km في اتجاه الشرق من بيتك إلى البقالة، وقمت بالشراء، ثم مشيت مسافة 0.2 km في اتجاه الشرق إلى منزل جدك. ما بعدك عن نقطة الأصل بيتك؟ الجواب هو:

0.5 km شرقاً + 0.2 km شرقاً = 0.7 km شرقاً

ويمكنك حل هذه المسألة بيانياً باستخدام مسطرة لقياس ورسم كل متجه، على أن يكون طول المتجه متناسباً مع مقدار الكمية التي يمثلها، وذلك باختيار مقياس رسم مناسب. فإذا حسب المقياس كما رسم بالكامل، وهو مقياس: 1 cm لكل 0.1 km، يمثل 5 cm على المخطط رحلتك إلى البقالة، ويمثل 2 cm المتجه الآخر في رحلتك إلى منزل جدك، وهما مرسومان بمقياس 1 cm لكل 0.1 km، والمتجه الذي يمثل مجموع المتجهين مبين بخط طوله 7 cm. ووفق مقياس الرسم فإنك على بعد 0.7 km من نقطة الأصل.

ويسمى المتجه الذي يمثل مجموع المتجهين أو أكثر متجه المحصلة، وهو يتجه دائماً من ذيل المتجه الأول إلى رأس المتجه الأخير، والعكس صحيح عند إيصال ذيل المتجه الأول برأس المتجه الثاني.

الشكل 2-8

يجمع متجهان يوضح رأس الأول ملاصقاً لذيل الثاني. يبدأ المحصلة من ذيل المتجه الأول وينتهي عند رأس المتجه الثاني.

الفترة الزمنية والإزاحة

Time Interval and Displacement

عند تحليل حركة العداء تحتاج إلى معرفة الزمن الذي استغرقه العداء للانتقال من الشجرة إلى عمود الإنارة. يمكن إيجاد هذه الفترة الزمنية بحساب الفرق بين قراءتي ساعة الإيقاف في كل موقع. اختر الرمز ti للزمن عندما كان العداء عند الشجرة، والرمز tf للزمن عندما صار عند عمود الإنارة. يسمى الفرق بين زمنين فترة زمنية، ويرمز لها بالرمز Δt، حيث:

Δt = tf - ti

الفترة الزمنية

الفترة الزمنية تساوي الزمن النهائي مطروحاً منه الزمن الابتدائي.

وفي مثال العداء، يكون الزمن الذي يستغرقه للذهاب من الشجرة إلى عمود الإنارة هو:

tf - ti = 5.0 s - 1.0 s = 4.0 s

ولكن كيف تغير موقع العداء عندما ركض من الشجرة حتى عمود الإنارة، كما هو موضح في الشكل 2-9؟ يمكن استخدام الرمز d لتمثيل موقع العداء. غالباً ما تستخدم كلمة موقع للإشارة إلى مكان ما. أما في الفيزياء فالموقع متجه ذيله عند نقطة الأصل لنظام الإحداثيات المستخدم، ورأسه عند المكان المراد تحديد موقعه.

أما الإزاحة فهي كمية فيزيائية متجهة، وتمثل مقدار التغير الذي حدث لموقع الجسم في اتجاه معين. ويعبر للإزاحة بالرمز Δd، وتمثل بسهم يشير ذيله إلى موقع بداية الحركة، بينما يشير رأسه إلى موقع نهايتها، كما أن طول السهم يمثل المسافة التي قطعها الجسم في اتجاه معين، وهو الاتجاه الذي يشير إليه السهم. كما تحسب الإزاحة رياضياً بالعلاقة:

Δd = df - di

الإزاحة

الإزاحة Δd تساوي متجه الموقع النهائي df مطروحاً منه متجه الموقع الابتدائي di.

فإزاحة العداء Δd في أثناء حركته من الشجرة إلى عمود الإنارة تساوي:

25.0 m - 5.0 m = 20.0 m

والإزاحة بوصفها كمية متجهة تختلف عن المسافة بوصفها كمية قياسية؛ فالإزاحة تعبر عن كل من المسافة والاتجاه، بينما تعبر المسافة عن كل ما يقطعه الجسم دون تحديد الاتجاه.

الشكل 2-9

تلاحظ أن العداء استغرق أربع ثوان ليركض من الشجرة إلى عمود الإنارة. استخدم الموقع الابتدائي للعداء نقطة مرجعية. يشير المتجه من الموقع 1 إلى الموقع 2 إلى اتجاه الإزاحة ومقدارها خلال هذه الفترة الزمنية.

لاحظ اللون

تظهر متجهات الإزاحة باللون الأخضر.

كيف تطرح الكميات المتجهة؟ لطرح متجه من آخر، اعكس اتجاه المتجه المراد طرحه، ثم اجمعهما، وذلك لأن:

A - B = A + (-B)

يبين الشكل 2-10a متجهين: الأول A طوله 4 cm ويتجه إلى الشرق، والثاني B طوله 1 cm ويتجه إلى الشرق أيضاً. أما الشكل 2-10b فيبين المتجه -B، وطوله 1 cm والذي يتجه إلى الغرب، وتظهر محصلة المتجهين A و -B، ومثلها متجه طوله 3 cm يتجه إلى الشرق.

الشكل 2-10

a. المتجهان A و B.
b. محصلة A - B.

حدد طول واتجاه متجه الإزاحة Δd = df - di برسم المتجه df والمتجه -di الذي يكون اتجاهه عكس اتجاه di، ثم اجمعهما، بحيث يكون ذيل المتجه -di عند رأس المتجه df، ومن جمعهما معاً يتضح أن طول متجه الإزاحة صفراً. وإذا لم تتضح زاوية المتجه، فاختر نظاماً إحداثياً مختلفاً، حيث اعتبر الطرف الأيسر من الجدول الواقع نقطة للأصل في الشكل 2-11b.

تلاحظ أن متجهات الموقع قد تغيرت، في حين لا يتغير مقدار واتجاه متجه الإزاحة.

الشكل 2-11

يمكن حساب إزاحة العداء خلال التوالي بطرح di من df. في الشكل a يقع متجه df إلى اليسار من اليمين، أما في الشكل b فيتجه إلى اليمين. وبغض النظر عن اختيارك للنظام الإحداثي فإن متجه الإزاحة Δd واتجاهه لا يتغير.

2-2 مراجعة

• الإزاحة

يمثل الشكل الآتي النموذج الجسيمي النقطي لحركة سيارة على طريق سريع، وقد حددت نقطة الانطلاق كالآتي:

من هنا ......................... إلى هناك

أعد رسم هذا النموذج الجسيمي النقطي، وارسم متجهاً يمثل إزاحة السيارة من نقطة البداية حتى نهاية الفترة الزمنية الثالثة.

• الإزاحة

يمثل النموذج الجسيمي النقطي أدناه حركة طالب يسير من بيته إلى المدرسة.

البيت ......................... المدرسة

أعد رسم الشكل، وارسم متجهات لتمثيل الإزاحة بين كل نقطتين.

• الموقع

قارن طالبان متجهي الموقع اللذين رسماهما على المخطط التوضيحي للحركة لتحديد موقع جسم متحرك في اللحظة نفسها، فوجد أن المتجهين المرسومين لا يشيران إلى الاتجاه نفسه. فسر ذلك.

• التفكير الناقد

تتحرك سيارة في خط مستقيم من البقالة إلى مكتب البريد. ولتمثيل حركتها استخدمت نظاماً إحداثياً، نقطة الأصل فيه البقالة، واتجاه حركة السيارة هو الاتجاه الموجب. أما زميلك فاستخدم نظاماً إحداثياً نقطة الأصل فيه مكتب البريد، والاتجاه المعاكس لحركة السيارة هو الموجب. هل ستتفقان على كل من موقع السيارة والإزاحة والفترة الزمنية التي استغرقتها الرحلة؟ وضح ذلك.