الرنين في الأعمدة الهوائية والأوتار
3-2 الرنين في الأعمدة الهوائية والأوتار
Resonance in Air Columns and Strings
الأهداف
بعد دراسة هذا الدرس يتوقع أن تكون قادرًا على أن:
- تصف مصدر الصوت.
- توضح مفهوم الرنين، وتطبيقاته على أعمدة الهواء والأوتار.
- تفسر سبب وجود الاختلافات في صوت الآلات وفي أصوات الناس.
المفردات
| المفردة |
| ------------------------------- |
| أنبوب الرنين المغلق |
| أنبوب الرنين المفتوح |
| التردد الأساسي، النغمة الأساسية |
| الإيقاع |
مقدمة الدرس
درس العالم الألماني هيرمن هلمهولتز في منتصف القرن التاسع عشر أصوات الناس، ثم طوّر علماء ومهندسون في القرن العشرين أداة إلكترونية لا تكتفي بدراسة مفصلة للصوت، بل بإنشاء آلات إلكترونية لإنتاج الأصوات أيضًا، بالإضافة إلى آلات تسجيل تسمح لنا بسماع القرآن والخطب والقصائد وتسجيلات متعددة في أي مكان وأي زمان نريده.
مصادر الصوت
Sources of Sound
ينتج الصوت عن اهتزاز الأجسام؛ إذ تؤدي اهتزازات الجسم إلى تحريك الجزيئات التي تتسبب في إحداث تذبذب في ضغط الهواء.
فمثلًا يحتوي مكبر الصوت على مخروط مصمم ليهتز بواسطة التيارات الكهربائية، ويولد سطح المخروط الموجات الصوتية التي تنتقل إلى أذنك، مما يسمح لك بسماع القرآن أو الأذان.
وتعد الصنوج والدفوف والطبول أمثلة على السطوح المهتزة، وتعد جميعها مصادر للصوت.
ينتج الصوت البشري عن اهتزاز الأوتار الصوتية، وهي عبارة عن زوج من الأغشية في الحنجرة، حيث يندفع الهواء من الرئتين مارًّا عبر الحنجرة، فتبدأ الأوتار الصوتية في الاهتزاز.
ويتم التحكم في تردد الاهتزاز بعضلات الشد الموجودة على الأوتار الصوتية.
أما الآلات الوترية فإن الأسلاك أو الأوتار هي التي تهتز؛ إذ ينتج ضرب الأوتار أو سحبها أو احتكاكها بقوس الوتر، اهتزاز الأوتار.
وتتصل الأوتار عادة بلوحة صوتية تهتز مع الأوتار. وتؤدي اهتزازات اللوحة الصوتية إلى إحداث ذبذبات في قيمة ضغط الهواء الذي نشعر به بوصفه صوتًا.
الرنين في الأعمدة، الأنابيب الهوائية
Resonance in Air Columns
عند وضع شوكة رنانة فوق عمود هواء يهتز الهواء داخل الأنبوب بالتردد نفسه، أو برنين يتوافق مع اهتزاز معين للشوكة الرنانة.
تذكر أن الرنين يزيد من سعة الاهتزاز من خلال تكرار تطبيق قوة خارجية صغيرة بالتردد الطبيعي نفسه.
ويحدد طول عمود الهواء ترددات الهواء المهتز التي ستكون في حالة رنين، في حين يؤدي تغيير طول عمود الهواء إلى تغيير حدة صوت الآلة.
ويعمل عمود الهواء في حالة الرنين على تضخيم مجموعة محددة من الترددات لتضخيم نغمة منفردة، وتحويل الأصوات العشوائية إلى أصوات منتظمة.
وتحدث الشوكة الرنانة فوق أنبوب مجوف رنينًا في عمود الهواء، كما يبين الشكل 3-8، إذا تم وضع الأنبوب في الماء، بحيث تصبح إحدى نهايتي الأنبوب أسفل سطح الماء، حيث يتكون أنبوب مغلق، بالنسبة إلى الهواء، يكون في حالة رنين ويسمى هذا الأنبوب أنبوب الرنين المغلق.
ويتم تغيير طول عمود الهواء بتعديل ارتفاع الأنبوب فوق سطح الماء.
فإذا ضربت الشوكة الرنانة بمطرقة مطاطية، وتم تغيير طول عمود الهواء بتحريك الأنبوب إلى أعلى أو إلى أسفل في الماء فإن الصوت يصبح أعلى أو أخفض على التناوب.
ويكون الصوت عاليًا عندما يكون عمود الهواء في وضع رنين مع الشوكة الرنانة. وعندما يكون عمود الهواء في حالة رنين فإنه يؤدي إلى تقوية صوت الشوكة الرنانة.
الشكل 3-8
يغير رفع الأنبوب أو إنزاله، طول عمود الهواء، ويكون الصوت عاليًا عند حدوث رنين بين عمود الهواء والشوكة الرنانة.
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
الشكل_3-8_أنبوب_الرنين_المغلق_مع_الشوكة_الرنانة.png
موجة الضغط الطولية الموقوفة، المستقرة
كيف يحدث الرنين؟
تولد الشوكة الرنانة موجات صوتية، تتكون من تذبذبات مرتفعة ومنخفضة الضغط، وتتحرك هذه الموجات إلى أسفل عمود الهواء.
وعندما تصطدم هذه الموجات بسطح الماء تنعكس مرتدة إلى الشوكة الرنانة، كما في الشكل 3-9a.
فإذا وصلت موجة الضغط المرتفع المنعكسة إلى الشوكة الرنانة في اللحظة نفسها التي تنتج فيها الشوكة الرنانة موجة ضغط مرتفع أخرى فعندها تقوي الموجة الصادرة عن الشوكة والموجة المنعكسة إحداهما الأخرى.
وهذه التقوية أو التعزيز للموجات يولد موجة مستقرة، ويحدث الرنين.
أما الأنبوب المفتوح فهو أنبوب مفتوح الطرفين، ويكون في حالة رنين مع مصدر صوت عندما تنعكس موجات المصدر من طرف مفتوح ويسمى هذا الأنبوب أنبوب الرنين المفتوح.
ويكون ضغط الموجة المنعكسة مقلوبًا. فعلى سبيل المثال، إذا وصلت موجة ضغط مرتفع إلى الطرف المفتوح فسوف ترتد موجة ضغط منخفض، كما يبين الشكل 3-9b.
الشكل 3-9
يمثل الأنبوب الموضوع في ماء أنبوبًا مغلقًا. وتنعكس موجات الضغط المرتفع في الأنابيب المغلقة موجات ضغط مرتفع (a). أما في الأنابيب المفتوحة فتكون الموجات المنعكسة مقلوبة (b).
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
الشكل_3-9_انعكاس_موجات_الضغط_في_الانابيب_المغلقة_والمفتوحة.png
طول عمود هواء الرنين
يمكن تمثيل موجة صوتية موقوفة في أنبوب بموجة جيبية، كما يوضح الشكل 3-10.
كما يمكن أن تمثل الموجات الجيبية إما تغيرات ضغط الهواء أو إزاحة جزيئاته.
ولأن للموجات المستقرة عقدًا وبطونًا، لذا فإنه عند التمثيل البياني لتغير الضغط تكون العقد هي مناطق الضغط الجوي المتوسط، أما مناطق البطون فيتذبذب الضغط عندها بين قيمتيه العظمى والصغرى.
وفي حالة رسم الإزاحة تكون البطون هي مناطق الإزاحة الكبيرة، وتكون العقد هي مناطق الإزاحة القليلة.
وفي كلتا الحالتين تكون المسافة بين بطنين أو بين عقدتين متتاليتين مساوية لنصف الطول الموجي.
الشكل 3-10
تمثل موجات الجيب الموجات المستقرة في الأنابيب.
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
الشكل_3-10_الموجات_المستقرة_في_الانابيب.png
تجربة: الرنين في الأعمدة الهوائية
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
تجربة_الرنين_في_الاعمدة_الهوائية.png
تحتاج في هذه التجربة إلى:
| المواد والأدوات |
| --------------- |
| شوكة رنانة |
| مطرقة خاصة |
| أنبوب مغلق |
الخطوات
- اطرق الشوكة الرنانة ثم قربها من فوهة الأنبوب.
- غيّر طول العمود الهوائي عن طريق تغيير عمق الماء فيه. وقرب الشوكة الرنانة بعد طرقها من فوهة الأنبوب.
- أعد الخطوة السابقة، واستمر في زيادة طول عمود الهواء أكثر من الحالة الأولى.
التحليل والاستنتاج
- لاحظ: ماذا لاحظت بعد تنفيذ الخطوة 2 والخطوة 3؟
- استنتج: متى يحدث الرنين؟
ترددات الرنين في أنبوب مغلق
إن طول أقصر عمود هواء له بطن ضغط عند الطرف المغلق وعقدة ضغط عند الطرف المفتوح يكون مساويًا لربع الطول الموجي، كما يبين الشكل 3-11.
ومع زيادة التردد يكون هناك أطوال أعمدة هواء رنين إضافية عند فترات مساوية لنصف الطول الموجي.
لذا تكون الأعمدة التي أطوالها:
λ/4 ، 3λ/4 ، 5λ/4 ، 7λ/4
وهكذا، في حالة رنين مع الشوكة الرنانة.
يكون طول عمود هواء الرنين الأول عمليًا أطول قليلًا من ربع الطول الموجي؛ وذلك لأن تغيرات الضغط لا تنخفض إلى الصفر تمامًا عند الطرف المفتوح من الأنبوب.
وتكون العقدة فعليًا أبعد عن الطرف بمقدار 0.4 قطر الأنبوب.
وتفصل بين أطوال أعمدة هواء الرنين الإضافية مسافات مقدارها نصف الطول الموجي.
ويستخدم قياس هذه المسافة بين كل رنينين في إيجاد سرعة الصوت في الهواء، كما يبين المثال 2.
الشكل 3-11
يكون الأنبوب المغلق في حالة رنين عندما يكون طوله عددًا فرديًا من مضاعفات ربع الطول الموجي.
العلاقات الظاهرة في الشكل:
λ₁ = 4L
f₁ = v / λ₁ = v / 4L
λ₃ = 4L / 3
f₃ = 3v / 4L = 3f₁
λ₅ = 4L / 5
f₅ = 5v / 4L = 5f₁
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
الشكل_3-11_ترددات_الرنين_في_انبوب_مغلق.png
ترددات الرنين في أنبوب مفتوح
يكون طول أقصر عمود هواء يحتوي على عقدة عند كل من طرفيه مساويًا نصف الطول الموجي، كما يبين الشكل 3-12.
ومع زيادة التردد يكون هناك أطوال رنين إضافية عند فترات نصف الطول الموجي.
لذا تكون الأعمدة في حالة الرنين مع الشوكة الرنانة بأطوال:
λ/2 ، λ ، 3λ/2 ، 2λ
وهكذا.
إذا استعملت أنبوبين مفتوحًا ومغلقًا على أنهما أنبوبان في حالة رنين فإن الطول الموجي لصوت الرنين في الأنبوب المفتوح يكون نصف الطول الموجي الذي للأنبوب المغلق.
لذا يكون التردد في الأنبوب المفتوح ضعف التردد الذي في الأنبوب المغلق.
وتكون أطوال أعمدة هواء الرنين لكلا الأنبوبين مفصولة بفترات مقدارها نصف الطول الموجي.
الشكل 3-12
يكون الأنبوب المفتوح في حالة رنين عندما يكون طوله عددًا زوجيًا من مضاعفات ربع الطول الموجي.
العلاقات الظاهرة في الشكل:
λ₁ = 2L
f₁ = v / λ₁ = v / 2L
λ₂ = L
f₂ = v / L = 2f₁
λ₃ = 2L / 3
f₃ = 3v / 2L = 3f₁
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
الشكل_3-12_ترددات_الرنين_في_انبوب_مفتوح.png
سماع الرنين
يؤدي الرنين إلى زيادة علو ترددات مخصصة.
فإذا صرخت داخل نفق طويل فإن الصوت الذي يدوي وتسمعه يكون بسبب النفق بوصفه أنبوبًا في حالة رنين.
كما تعمل الصدفة في الشكل 3-13 عمل أنبوب مغلق في حالة رنين.
الشكل 3-13
تعمل الصدفة عمل أنبوب مغلق في حالة رنين، يضخم ترددات معينة من الأصوات المحيطة.
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
الشكل_3-13_الصدفة_كأنبوب_مغلق_في_حالة_رنين.png
تطبيق الفيزياء: السمع والتردد
تعمل القناة السمعية البشرية كأنها أنبوب مغلق في حالة رنين، يؤدي إلى زيادة حساسية الأذن للترددات بين:
2000 Hz و 5000 Hz
في حين يمتد المدى الكامل لترددات الصوت التي يسمعها البشر من:
20 Hz إلى 20000 Hz
ويمتد سمع الكلب لترددات مرتفعة تصل إلى:
45000 Hz
أما القط فيمتد السمع لديه إلى ترددات تصل إلى:
100000 Hz
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
تطبيق_الفيزياء_السمع_والتردد.png
الرنين في الأوتار
Resonance on Strings
تختلف أشكال الموجة في الأوتار المهتزة اعتمادًا على طريقة توليدها. ومن ذلك النقر أو الشد أو الضرب، إلا أن لها خصائص عديدة مشتركة مع الموجات المستقرة في النوابض والحبال، كما درست في الفصل السابق.
ويكون الوتر في آلة ما مشدودًا من الطرفين، لذا فإنه عندما يهتز يكون له عقدة عند كل طرف من طرفيه.
وتستطيع أن ترى في الشكل 3-14 أن النمط الأول للاهتزاز له بطن عند المنتصف، وطوله يساوي نصف الطول الموجي.
ويحدث الرنين التالي عندما يكون طول الوتر مطابقًا لطول موجي واحد.
وتظهر موجات مستقرة إضافية عندما يكون طول الوتر:
3λ/2 ، 2λ ، 5λ/2
وهكذا.
وكما هو الحال للأنبوب المفتوح فإن ترددات الرنين تساوي مضاعفات أقل تردد.
الشكل 3-14
وتر في حالة رنين مع موجات موقوفة عندما يكون طوله مساويًا لمضاعفات نصف الطول الموجي.
العلاقات الظاهرة في الشكل:
λ₁ = 2L
f₁ = v / λ₁ = v / 2L
λ₂ = L
f₂ = v / L = 2f₁
λ₃ = 2L / 3
f₃ = 3v / 2L = 3f₁
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
الشكل_3-14_الرنين_في_وتر_وموجات_موقوفة.png
وتعتمد سرعة الموجة في الوتر على قوة الشد فيه، وعلى كتلة وحدة طوله.
لذا فإن الآلة الوترية تُضبط بتغيير شد أوتارها.
فكلما كان الوتر مشدودًا أكثر كانت سرعة حركة الموجة أكبر، لذا تزداد قيمة تردد موجاته المستقرة.
جودة الصوت
Sound Quality
تولد الشوكة الرنانة صوتًا معتدلًا غير مرغوب فيه؛ لأن أطرافها تهتز بحركة توافقية بسيطة، وتنتج موجة جيبية بسيطة، كما يبين الشكل 3-15a.
أما الأصوات البشرية فهي أكثر تعقيدًا، ومنها الموجة المبينة في الشكل 3-15b.
وقد يكون لكلتا الموجتين التردد نفسه، أو الحدة نفسها، ولكن الصوتين مختلفان جدًا.
تولد الموجة المعقدة باستخدام مبدأ التراكب لجمع موجات ذات ترددات مختلفة؛ إذ يعتمد شكل الموجة على السعات النسبية لهذه الترددات.
ويسمى الفرق بين الموجتين طابع الصوت، أو لون النغمة، أو جودتها.
الشكل 3-15
رسم بياني لصوت نقي مقابل الزمن (a). ورسم بياني لموجات صوتية غير نقية، معقدة، مقابل الزمن (b).
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
الشكل_3-15_رسم_بياني_لصوت_نقي_وصوت_غير_نقي.png
مثال 2
إيجاد سرعة الصوت باستخدام الرنين
عند استخدام شوكة رنانة بتردد 392 Hz مع أنبوب مغلق، سُمع أعلى صوت عندما كان طول عمود الهواء 21.0 cm و 65.3 cm. ما سرعة الصوت في هذه الحالة؟ وهل درجة الحرارة في الأنبوب أكبر أم أقل من درجة الحرارة الطبيعية للغرفة، وهي 20°C؟ وضح إجابتك.
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
مثال_2_إيجاد_سرعة_الصوت_باستخدام_الرنين.png
1. تحليل المسألة ورسمها
ارسم الأنبوب المغلق.
عين طولي عمود الهواء لحالتي الرنين.
المعلوم
f = 392 Hz
LA = 21.0 cm
LB = 65.3 cm
المجهول
v = ?
2. إيجاد الكمية المجهولة
حل لإيجاد طول الموجة باستخدام علاقة الطول - الطول الموجي للأنبوب المغلق:
LB - LA = 1/2 λ
بإعادة ترتيب المعادلة لـ λ:
λ = 2(LB - LA)
LB- LA= 1_2λ
λ=2( LB- LA)
عوّض مستخدمًا:
LA = 0.210 m
LB = 0.653 m
λ = 2(0.653 m - 0.210 m)
λ = 0.886 m
استخدم المعادلة الآتية لإيجاد السرعة:
λ = v / f
بإعادة ترتيب المعادلة لـ v:
v = fλ
عوّض مستخدمًا:
f = 392 Hz
λ = 0.886 m
v = (392 Hz)(0.886 m)
v = 347 m/s
السرعة أكبر قليلًا من سرعة الصوت عند درجة الحرارة 20°C، مما يشير إلى أن درجة الحرارة أعلى قليلًا من درجة الحرارة الطبيعية للغرفة.
3. تقويم الجواب
هل الوحدات صحيحة؟
وحدات الجواب صحيحة:
m/s = m × 1/s = m/s. (Hz) (m) =
هل الجواب منطقي؟
السرعة أكبر قليلًا من 343 m/s، التي هي سرعة الصوت عند درجة الحرارة 20°C.
دليل الرياضيات
ترتيب العمليات.
طيف الصوت: التردد الأساسي، النغمة الأساسية، والإيقاعات
إن موجة الصوت المعقدة في الشكل 3-15b ناتجة عن عمود هواء مغلق.
ارجع إلى الشكل 3-11 الذي يبين ثلاثة ترددات رنين لأنبوب مغلق؛ حيث يكون أقل تردد رنين f₁، يحدث في أنبوب مغلق طوله L مساويًا:
f₁ = v / 4L
ويسمى هذا التردد الأقل التردد الأساسي أو النغمة الأساسية.
ويكون الأنبوب المغلق في وضع رنين عند ترددات:
3f₁ ، 5f₁
وهكذا.
وتسمى هذه الترددات المرتفعة، وهي مضاعفات فردية من التردد الأساسي، الإيقاعات.
وإضافة هذه الإيقاعات معًا هو الذي يعطي الصوت طابعًا مميزًا.
أما التردد الأساسي، وهو الإيقاع الأول أيضًا، لأنبوب مفتوح في حالة رنين فيكون مساويًا:
f₁ = v / 2L
مع إيقاعات لاحقة عند:
2f₁ ، 3f₁ ، 4f₁
وهكذا.
وتعطي التركيبات والسعات المختلفة لهذه الإيقاعات كل صوت أو آلة وترية طابعها المميز.
ويسمى الرسم البياني لسعة الموجة مقابل ترددها طيف الصوت.
مسائل تدريبية
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
مسائل_تدريبية_15_17_الرنين_وسرعة_الصوت.png
15
إذا وضعت شوكة رنانة تهتز بتردد 440 Hz فوق أنبوب مغلق، فأوجد الفواصل بين أوضاع الرنين عندما تكون درجة حرارة الهواء 20°C.
16
استخدمت شوكة رنانة تهتز بتردد 440 Hz مع عمود رنين لتحديد سرعة الصوت في غاز الهيليوم. فإذا كانت الفواصل بين أوضاع الرنين 110 cm، فما سرعة الصوت في غاز الهيليوم؟
17
استخدم طالب عمود هواء عند درجة حرارة 27°C، ووجد فواصل بين أوضاع الرنين بمقدار 20.2 cm. ما تردد الشوكة الرنانة؟ استخدم سرعة الصوت في الهواء المحسوبة في المثال 2 عند درجة الحرارة 27°C.
مسألة تحفيز
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
مسألة_تحفيز_وتر_وانبوب_مغلق_بنفس_التردد.png
1
حدد قوة الشد FT في وتر كتلته m وطوله L، عندما يهتز بالتردد الأساسي، والذي يساوي التردد نفسه لأنبوب مغلق طوله L. عبر عن إجابتك بدلالة m و L وسرعة الصوت في الهواء v.
استخدم معادلة سرعة الموجة في وتر:
u = √(FT / μ)
حيث تمثل:
| الرمز | المعنى |
| ----- | ---------------------------- |
| FT | قوة الشد في الوتر |
| μ | الكتلة لكل وحدة طول من الوتر |
2
ما مقدار قوة الشد في وتر كتلته 1.0 g وطوله 40.0 cm يهتز بالتردد نفسه لأنبوب مغلق له الطول نفسه؟
إعادة إنتاج الصوت والضجيج
Sound Reproduction and Noise
هل استمعت إلى شخص يتلو القرآن أو آلة تسجيل؟
في أغلب الأوقات يتم تسجيل الأصوات وتشغيلها عن طريق أنظمة إلكترونية.
ولإعادة إنتاج الصوت بإتقان يجب أن يلائم النظام جميع الترددات بالتساوي.
فالنظام الصوتي، الاستيريو، الجيد يحافظ على السعات لكل الترددات بين:
20 Hz و 20000 Hz
ضمن:
3 dB
أما نظام الهاتف فيحتاج إلى إرسال المعلومات بلغة منطوقة، وتكون الترددات بين:
300 Hz و 3000 Hz
كافية.
ويساعد تخفيض عدد الترددات الموجودة على تخفيض الضجيج.
ويبين الشكل 3-16 موجة ضجيج يظهر فيها العديد من الترددات تقريبًا بالسعات نفسها.
الشكل 3-16
يتكون الضجيج من ترددات متعددة، ويتضمن تغيرات عشوائية في التردد والسعة.
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
الشكل_3-16_موجة_الضجيج_وتغيرات_عشوائية.png
3-2 مراجعة
18. مصادر الصوت
ما الشيء المهتز الذي ينتج الأصوات في كل مما يأتي؟
a. الصوت البشري
b. صوت المذياع
19. الرنين في الأنابيب المفتوحة
ما النسبة بين طول الأنبوب المفتوح والطول الموجي للصوت لإنتاج الرنين الأول؟
20. الرنين في الأوتار
يصدر وتر نغمة حادة ترددها 370 Hz. ما ترددات الإيقاعات الثلاثة اللاحقة الناتجة بهذه النغمة؟
21. الرنين في الأنابيب المغلقة
يبلغ طول أنبوب مغلق 2.40 m. ما تردد النغمة التي يصدرها هذا الأنبوب؟
22. التفكير الناقد
اضرب شوكة رنانة بمطرقة مطاطية واحملها بحيث تكون ذراعك ممدودة، ثم اضغط بمقبضها على طاولة، وباب، وخزانة، وأجسام أخرى. ما الذي تسمعه؟ ولماذا؟
جاري تحضير الدرس المعاد صياغته وبناء الأنماط
نحافظ على المعنى العلمي ونربط كل فقرة بنواتجها ومفاهيمها.
إعادة إنتاج الدرس حسب نمط التعلم
طلب واحد ينتج المسارات البصري والسمعي والحركي والقرائي معًا، بصياغة تراعي سياق المناهج السعودية.
اختر نمط التعلم
تُنتج الأنماط الأربعة دفعة واحدة، ثم تُستدعى الحزمة المحفوظة في الزيارات التالية.