المرايا الكروية
5-2 المرايا الكروية
Curved Mirrors
رابط الدرس الرقمي
[www.ien.edu.sa](http://www.ien.edu.sa)
الأهداف
بعد دراسة هذا الدرس يتوقع أن تكون قادرًا على أن:
- توضح كيف تكون كل من المرايا المحدبة والمرايا المقعرة الصور.
- تصف خصائص المرايا الكروية وتذكر استخداماتها.
- تحدد مواقع وأطوال الصور التي تكونها المرايا الكروية.
المفردات
| المفردة |
| ---------------------- |
| المرآة المقعرة |
| المحور الرئيس |
| البؤرة |
| البعد البؤري |
| الصورة الحقيقية |
| الزوغان، التشوه الكروي |
| التكبير |
| المرآة المحدبة |
مقدمة الدرس
عندما تنظر إلى سطح ملعقة لامعة تلاحظ أن انعكاس صورتك يختلف عن انعكاسها في مرآة مستوية؛ إذ تعمل الملعقة عمل مرآة كروية؛ حيث يكون أحد سطحيها منحنيًا إلى الداخل، والسطح الآخر منحنيًا إلى الخارج. وتعتمد خصائص المرايا الكروية والصور التي تكونها على شكل المرآة وموقع الجسم.
المرايا المقعرة
Concave Mirrors
يعمل السطح الداخلي للملعقة، السطح الذي يحمل الطعام، عمل مرآة مقعرة. والمرآة المقعرة سطح عاكس، حوافه منحنية نحو المشاهد.
وتعتمد خصائص المرآة المقعرة على مدى تقعرها، ويبين الشكل 5-8 كيف تعمل المرآة الكروية المقعرة.
ويبدو شكل المرآة الكروية المقعرة كأنه جزء مأخوذ من كرة جوفاء سطحها الداخلي عاكس للضوء.
وللمرآة الكروية المقعرة المركز الهندسي نفسه C، ونصف قطر التكور نفسه r الخاصين بالكرة المأخوذة منها.
ويسمى الخط الذي يحتوي على القطعة المستقيمة CM المحور الرئيس؛ وهو خط مستقيم متعامد مع سطح المرآة الذي يقسمها إلى نصفين.
وتمثل النقطة M قطب المرآة؛ وهي نقطة تقاطع المحور الرئيس مع سطح المرآة.
عندما توجه المحور الرئيس للمرآة المقعرة نحو الشمس تنعكس الأشعة جميعها مارة بنقطة واحدة.
ويمكنك تحديد هذه النقطة بتقريب وإبعاد قطعة ورق أمام المرآة حتى تحصل على أصغر وأوضح نقطة لأشعة الشمس المنعكسة على الورقة.
وتسمى هذه النقطة البؤرة الأصلية للمرآة؛ وهي النقطة التي تتجمع فيها انعكاسات الأشعة المتوازية الساقطة موازية للمحور الرئيس بعد انعكاسها عن المرآة.
ونظرًا للبعد الكبير بين الشمس والأرض فإن جميع الأشعة التي تصل الأرض تعد متوازية.
وعندما يسقط الشعاع على مرآة فإنه ينعكس وفق قانون الانعكاس.
ويبين الشكل 5-8 أن الأشعة الساقطة موازية للمحور الرئيس تنعكس عن المرآة وتقطع المحور في البؤرة F.
وتقع البؤرة F في منتصف المسافة بين مركز التكور C والقطب M.
أما البعد البؤري f، فيمثل المسافة بين قطب المرآة وبؤرتها الأصلية، ويعبر عنه على النحو الآتي:
f = r / 2
ويكون البعد البؤري للمرآة المقعرة موجبًا.
الشكل 5-8
تقع بؤرة المرآة الكروية المقعرة في منتصف المسافة بين مركز التكور وسطح المرآة، وتنعكس الأشعة الساقطة موازية للمحور الرئيس مارة بالبؤرة F.
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
الشكل_5-8_بؤرة_المرآة_الكروية_المقعرة.png
الطريقة الهندسية لتحديد موقع الصورة
Graphical Method of Finding the Image
يفيدنا رسم مسارات الأشعة المنعكسة عن المرايا المقعرة في تحديد موقع الصورة، ليس لأن موقع الصورة هو الذي يتغير فقط، بل لأن حجمها ووضعها، أي اتجاهها، يتغيران أيضًا.
ويمكنك استخدام مخطط الأشعة للكشف عن خصائص الصور التي تكونها المرايا المقعرة.
ويبين الشكل 5-9 عملية تكوين صورة حقيقية؛ وهي الصورة التي تتكون من التقاء الأشعة المنعكسة ويمكن جمعها على حاجز.
وتلاحظ أن الصورة مقلوبة وأكبر حجمًا من الجسم، وأن الأشعة تلتقي فعليًا في النقطة التي تتكون فيها الصورة.
وتحدد نقطة التقاطع I لشعاعين منعكسين موقع الصورة.
ويمكنك رؤية الصورة في الفضاء عندما تسقط الأشعة المنعكسة التي كونت الصورة على عينك، كما في الشكل 5-9a.
ويوضح الشكل 5-9b أنه يجب أن يكون موقع عينك في الجهة التي تسقط عليها الأشعة المنعكسة المكونة للصورة، ولا يمكنك رؤية الصورة من الخلف.
وإذا وضعت حاجزًا، أي شاشة، في موقع تكون الصورة فإن هذه الصورة ستظهر على الحاجز كما في الشكل 5-9c.
وهذا غير ممكن في حالة الصور الخيالية التي تتكون من التقاء امتدادات الأشعة المنعكسة ولا يمكن جمعها على حاجز.
الشكل 5-9
الصورة الحقيقية التي ترى بالعين المجردة (a). لا ترى العين الصورة الحقيقية إذا كانت في موقع لا تسقط عليه الأشعة المنعكسة (b). ترى الصورة الحقيقية كما ترى على شاشة معتمة بيضاء (c).
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
الشكل_5-9_الصورة_الحقيقية_في_المرآة_المقعرة.png
ولتسهيل فهم كيفية سلوك الأشعة عند استخدام المرايا المقعرة يمكنك استخدام أجسام أحادية البعد؛ سهم مثلًا، كما في الشكل 5-10a.
تكون المرآة الكروية المقعرة صورة حقيقية ومقلوبة ومصغرة للجسم، إذا كان بعد الجسم do أكبر من ضعف البعد البؤري f، أي خلف مركز التكور.
أما إذا كان الجسم واقعًا بين البؤرة F ومركز التكور C كما في الشكل 5-10b فإن الصورة ستكون حقيقية ومقلوبة ومكبرة.
الشكل 5-10
إذا كان بعد الجسم عن المرآة أكبر من بعد مركز التكور، فستكون الصورة حقيقية ومقلوبة ومصغرة مقارنة بالجسم (a). أما إذا كان الجسم واقعًا بين البؤرة ومركز التكور فستكون الصورة حقيقية ومقلوبة ومكبرة وموقعها خلف C (b).
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
الشكل_5-10_تكوين_الصور_الحقيقية_في_المرايا_المقعرة.png
كيف يمكن تحويل الصورة الحقيقية والمقلوبة التي تكونها مرآة مقعرة إلى صورة معتدلة وحقيقية؟
لقد طور عالم الفلك الأسكتلندي جيمس جريجوري في عام 1663 المنظار المعروف باسمه، منظار جريجوريان، المنظار الفلكي، المبين في الشكل 5-11 لحل هذه المشكلة.
ويتكون منظاره من مرآتين مقعرتين إحداهما كبيرة والأخرى صغيرة.
وتقع المرآة الصغيرة خلف بؤرة المرآة الكبيرة.
وعندما تسقط الأشعة المتوازية القادمة من جسم بعيد على المرآة المقعرة الكبيرة فإنها تنعكس في اتجاه المرآة الصغيرة، التي تعكس بدورها هذه الأشعة مكونة صورة حقيقية ومعتدلة تمامًا كالجسم.
الشكل 5-11
يكون منظار جريجوريان Gregorian صورًا حقيقية ومعتدلة.
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
الشكل_5-11_منظار_جريجوريان_بمرآتين_مقعرتين.png
استراتيجيات حل المسألة
استخدام طريقة رسم الأشعة لتحديد موقع الصور التي تكونها المرايا الكروية
استخدم الاستراتيجيات الآتية لحل مسائل المرايا الكروية. ارجع إلى الشكل 5-10:
- استخدم ورقة مسطرة أو ورقة رسم بياني، وارسم المحور الرئيس للمرآة على شكل خط أفقي من يسار الصفحة إلى يمينها، تاركًا مسافة 6 أسطر فارغة أعلاه، و6 أسطر فارغة أسفله.
- ضع نقاطًا أو علامات على المحور تمثل كلًا من الجسم، و C، و F على النحو الآتي:
a. إذا كانت المرآة مقعرة والجسم خلف مركز التكور C، بعيدًا عن المرآة، فضع المرآة عن يمين الصفحة، والجسم عن يسارها، وضع C و F وفق مقياس الرسم.
b. إذا كانت المرآة مقعرة والجسم بين C و F، فضع المرآة عن يمين الصفحة، و C في وسطها، و F في منتصف المسافة بين المرآة ومركز التكور C، وضع الجسم وفق مقياس الرسم.
c. لأي وضع آخر، ضع المرآة في وسط الصفحة، وضع الجسم أو البؤرة F، أيهما أبعد عن المرآة، عن يسار الصفحة، وضع الآخر الأقرب وفق مقياس الرسم.
- ارسم خطًا رأسيًا لتمثيل المرآة، يمر بقطبها وفي الفراغ المكون من الاثني عشر سطرًا. يمثل هذا الخط المستوى الأساسي للمرآة.
- ارسم الجسم على هيئة سهم، واكتب على رأسه O₁. للمرايا المقعرة، يجب ألا يزيد طول الأجسام الواقعة أمام C على 3 أسطر، وأما لسائر الأوضاع فاجعل طول الأجسام 6 أسطر. سيكون مقياس رسم طول الجسم مختلفًا عن مقياس الرسم المستخدم على المحور الرئيس.
- ارسم الشعاع 1 بصورة موازية للمحور الرئيس، حيث ينعكس عن المستوى الأساسي مارًا بالبؤرة.
- ارسم الشعاع 2 مارًا بالبؤرة. سينعكس هذا الشعاع عن المستوى الأساسي موازيًا للمحور الرئيس.
- تتكون الصورة عند موقع التقاء الشعاعين المنعكسين 1 و 2 أو امتداديهما، وتكون الصورة ممثلة بسهم عمودي من المحور الرئيس إلى I₁، نقطة التقاء الشعاعين المنعكسين أو امتداديهما.
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
استراتيجيات_حل_المسألة_رسم_الأشعة_للمرايا_الكروية.png
عيوب الصور الحقيقية في المرايا المقعرة
عند رسم الأشعة في المرايا الكروية فإنك تعكس الأشعة عن المستوى الأساسي؛ وهو الخط الرأسي الذي يمثل المرآة، إلا أن الأشعة في حقيقة الأمر تنعكس عن المرآة نفسها، كما في الشكل 5-12a.
لاحظ أن الأشعة المتوازية القريبة من المحور الرئيس، الأشعة المحورية، فقط هي التي تنعكس مارة بالبؤرة.
أما الأشعة الأخرى فتلتقي في نقاط أقرب إلى المرآة.
لذا فإن الصورة المتكونة نتيجة انعكاس الأشعة التي تسقط متوازية على مرآة كروية ذات قطر، أي ارتفاع، كبير ونصف قطر تكور صغير، ستكون على هيئة قرص، وليست نقطة.
ويسمى هذا العيب الزوغان، التشوه الكروي، وهو ما يجعل الصورة تبدو غير واضحة.
والمرآة المقعرة التي تكون على شكل قطع مكافئ، كما في الشكل 5-12b، لا تعاني من الزوغان الكروي.
ونظرًا لارتفاع تكلفة تصنيع المرايا الكبيرة التي تأخذ شكل القطع المكافئ تمامًا، فإن أغلب التلسكوبات الجديدة تستعمل مرايا كروية ومرايا ثانوية صغيرة مصممة على هيئة خاصة، أو عدسات صغيرة، لتصحيح الزوغان الكروي.
ويمكن تقليل الزوغان الكروي كذلك بتقليل نسبة ارتفاع المرآة، الموضحة في الشكل 5-12a، إلى مقدار نصف قطر تكورها.
وتستخدم المرايا ذات التكلفة الأقل في التطبيقات التي لا تحتاج إلى دقة عالية.
الشكل 5-12
تعكس المرآة الكروية المقعرة جزءًا من الأشعة، بحيث تتجمع في نقاط غير البؤرة (a). تجمع مرآة القطع المكافئ الأشعة المنعكسة جميعها وتركزها في نقطة واحدة (b).
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
الشكل_5-12_الزوغان_الكروي_والمرآة_المكافئة.png
تطبيق الفيزياء
مشكلة هابل
Hubble Trouble
أطلقت وكالة الفضاء الأمريكية ناسا عام 1990 تلسكوب هابل الفضائي في مدار حول الأرض، وكان من المتوقع أن يزود الوكالة بصور واضحة دون التشوه الحادث بسبب الغلاف الجوي، إلا أنه بعد إطلاقه مباشرة وجد به زوغان كروي في الصور.
وفي عام 1993 أجريت تصحيحات بصرية، سميت COSTAR، على تلسكوب هابل ليتمكن من إعطاء صور واضحة.
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
تطبيق_الفيزياء_مشكلة_هابل_والزوغان_الكروي.png
الطريقة الرياضية لتحديد موقع الصورة
Mathematical Method of Locating the Image
يمكن استعمال نموذج المرآة الكروية لإيجاد معادلة بسيطة خاصة بالمرايا الكروية.
ولتكوين الصورة يجب مراعاة الاعتماد على الأشعة المحورية؛ وهي الأشعة القريبة من المحور الرئيس والمتوازية معه.
واستخدام هذا التقريب إلى جانب استخدام قانون الانعكاس يقود إلى معادلة المرايا الكروية عن طريق ربط الكميات الآتية معًا:
البعد البؤري للمرآة الكروية f، وبعد الجسم do، وبعد الصورة di.
معادلة المرايا الكروية
1/f = 1/di + 1/do
مقلوب البعد البؤري للمرآة الكروية يساوي حاصل جمع مقلوب بعد الجسم ومقلوب بعد الصورة عن المرآة.
من المهم أن تتذكر عند استخدام هذه المعادلة في حل المسائل أنها صحيحة تقريبًا؛ حيث لا تتنبأ بالزوغان الكروي؛ لأنها تعتمد على الأشعة المحورية في تكوين الصور.
وفي الحقيقة تكون الأشعة الصادرة عن الجسم مشتتة، لذا لا تكون جميع الأشعة موازية للمحور الرئيس أو قريبة منه.
وتعطي هذه المعادلة صفات الصورة بدقة كبيرة، إذا كان ارتفاع المرآة صغيرًا مقارنة بنصف قطر تكورها، بحيث يحد من الزوغان الكروي.
الرياضيات في الفيزياء
جمع الكسور وطرحها
عند استخدام معادلة المرايا، استعمل الرياضيات أولًا لنقل الكسر الذي يتضمن الكمية التي تبحث عنها إلى الطرف الأيسر للمعادلة، وانقل الكسرين الآخرين إلى الطرف الأيمن، ثم اجمع الكسرين الموجودين عن يمين المعادلة باستخدام توحيد المقامات عن طريق ضرب المقامات بعضها في بعض.
| الرياضيات | الفيزياء |
| ----------------------------- | --------------------------------- |
| 1/x = 1/y + 1/z | 1/f = 1/dᵢ + 1/dₒ |
| 1/y = 1/x - 1/z | 1/dᵢ = 1/f - 1/dₒ |
| 1/y = (1/x)(z/z) - (1/z)(x/x) | 1/dᵢ = (1/f)(dₒ/dₒ) - (1/dₒ)(f/f) |
| 1/y = (z - x) / xz | 1/dᵢ = (dₒ - f) / fdₒ |
| y = xz / (z - x) | dᵢ = fdₒ / (dₒ - f)
|
وباستخدام هذه الطريقة يمكنك اشتقاق العلاقات الآتية لحساب بعد الصورة، وبعد الجسم، والبعد البؤري:
dᵢ = fdₒ / (dₒ - f)
dₒ = fdᵢ / (dᵢ - f)
f = dᵢdₒ / (dₒ + dᵢ)
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
الرياضيات_في_الفيزياء_اشتقاق_معادلات_المرايا_والتكبير.png
التكبير
للمرايا الكروية خاصية التكبير m؛ ويقصد به كم مرة تكون الصورة أكبر من الجسم أو أصغر منه.
والتكبير عمليًا هو النسبة بين طول الصورة وطول الجسم.
ويمكن استخدام هندسة تطابق المثلثات لكتابة هذه النسبة بدلالة كل من بعد الجسم وبعد الصورة.
التكبير
m = hi / ho = -di / do
يعرف تكبير مرآة كروية لجسم ما على أنه: طول الصورة مقسومًا على طول الجسم. ويساوي حاصل قسمة سالب بعد الصورة عن المرآة على بعد الجسم عن المرآة.
عند استعمال المعادلة السابقة يكون بعد الصورة الحقيقية موجبًا، لذا يكون التكبير سالبًا، وهذا يعني أن الصورة مقلوبة مقارنة بالجسم.
وإذا كان الجسم واقعًا خلف مركز التكور C تكون القيمة المطلقة لتكبير الصورة الحقيقية أقل من 1؛ وهذا يعني أن الصورة تكون أصغر من الجسم، أي مصغرة.
أما إذا وضع الجسم بين البؤرة F ومركز التكور C فتكون القيمة المطلقة لتكبير الصورة الحقيقية أكبر من 1؛ أي أن الصورة أكبر من الجسم، أي مكبرة.
مثال 2
الصورة الحقيقية التي تكونها مرآة مقعرة
وضع جسم طوله 2.0 cm أمام مرآة مقعرة نصف قطرها 20.0 cm، وعلى بعد 30.0 cm منها. فما بعد الصورة؟ وما طولها؟
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
مثال_2_الصورة_الحقيقية_التي_تكونها_مرآة_مقعرة.png
1. تحليل المسألة ورسمها
ارسم مخططًا للجسم وللمرآة.
ارسم شعاعين أساسيين لتحديد موقع الصورة على المخطط.
المعلوم
ho = 2.0 cm
do = 30.0 cm
r = 20.0 cm
المجهول
di = ?
hi = ?
2. إيجاد الكمية المجهولة
احسب البعد البؤري:
f = r / 2
f = 20.0 cm / 2
f = 10.0 cm
استخدم معادلة المرايا الكروية، وحل لإيجاد بعد الصورة:
1/f = 1/dᵢ + 1/dₒ
dᵢ = fdₒ / (dₒ - f)
بالتعويض
di = fdo / (do - f)
di = (30.0 cm)(10.0 cm) / (30.0 cm - 10.0 cm)
di = 15.0 cm
صورة حقيقية أمام المرآة.
استخدم علاقة التكبير لحساب طول الصورة:
بالتعويض
m = hi / ho = -di / do
hi = -di ho / do
hi = - (15.0 cm)(2.0 cm) / 30.0 cm
hi = -1.0 cm
صورة مقلوبة ومصغرة.
3. تقويم الجواب
هل الوحدات صحيحة؟
جميع الوحدات بالسنتمتر cm.
هل للإشارة معنى؟
الموقع الموجب والطول السالب متفقان مع الرسم.
دليل الرياضيات
الكسور.
مسائل تدريبية
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
مسائل_تدريبية_11_13_المرايا_المقعرة.png
11
وضع جسم على بعد 36.0 cm أمام مرآة مقعرة بعدها البؤري 16.0 cm. أوجد بعد الصورة.
12
وضع جسم طوله 2.4 cm على بعد 16.0 cm من مرآة مقعرة بعدها البؤري 7.0 cm. أوجد طول الصورة.
13
وضع جسم بالقرب من مرآة مقعرة بعدها البؤري 10.0 cm، فتكون له صورة مقلوبة طولها 3.0 cm على بعد 16.0 cm من المرآة. أوجد طول الجسم وبعده عن المرآة.
الصور الخيالية في المرايا المقعرة
Virtual Images with Concave Mirrors
لاحظت أنه كلما اقترب الجسم من بؤرة المرآة المقعرة F ابتعدت الصورة عن المرآة.
وإذا وضع الجسم في البؤرة تمامًا كانت الأشعة المنعكسة جميعها متوازية، ومن ثم لا تتقاطع، لذا نقول إن الصورة تكونت في المالانهاية، ولا ترى صورة للجسم في هذه الحالة.
ماذا يحدث إذا اقترب الجسم من المرآة أكثر؟
ماذا تلاحظ عندما تقرب وجهك من مرآة مقعرة أكثر فأكثر؟ تكون صورة وجهك معتدلة وخلف المرآة.
فالمرآة المقعرة تكون صورة خيالية إذا وضع الجسم بين المرآة والبؤرة، كما في الشكل 5-13a.
ولتحديد صورة نقطة من نقاط الجسم يرسم مرة أخرى شعاعان، وكما ذكر سابقًا يرسم الشعاع 1 ساقطًا بموازاة المحور الرئيس وينعكس مارًا بالبؤرة.
أما الشعاع 2 فيرسم من نقطة على الجسم ليصل إلى المرآة، بحيث يمر امتداد هذا الشعاع في البؤرة، وينعكس هذا الشعاع موازيًا المحور الرئيس.
تلاحظ أن الشعاعين 1 و 2 يتشتتان عندما ينعكسان عن المرآة، لذا لا يمكن أن يكونا صورة حقيقية، في حين يلتقي امتدادا الشعاعين المنعكسين خلف المرآة مكونين صورة خيالية.
وعندما تستخدم معادلة المرآة المقعرة لتحديد بعد صورة جسم يقع بين البؤرة والمرآة تجد أن بعد الصورة يكون سالبًا.
وستعطي معادلة التكبير تكبيرًا موجبًا أكبر من 1، وهذا يعني أن الصورة معتدلة ومكبرة، مقارنة بالجسم، كما في الصورة الموضحة في الشكل 5-13b.
الشكل 5-13
عند وضع جسم بين البؤرة والمرآة الكروية المقعرة تكون له صورة مكبرة ومعتدلة وخيالية خلف المرآة (a)، كما هو موضح في الشكل (b).
ما الصفات الأخرى التي تراها للصورة أيضًا في هذا الشكل؟
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
الشكل_5-13_الصور_الخيالية_في_المرايا_المقعرة.png
مسألة تحفيز
وضع جسم طوله ho على بعد do من مرآة مقعرة بعدها البؤري f.
1
ارسم شكلًا لمخطط أشعة يوضح البعد البؤري وموقع الجسم إذا كان بعد الصورة الناتجة يساوي ضعف بعد الجسم عن المرآة، وأثبت صحة إجابتك رياضيًا. واحسب البعد البؤري بوصفه دالة رياضية في بعد الجسم في هذه الحالة.
2
ارسم شكلًا لمخطط أشعة يوضح بعد الجسم إذا كان بعد الصورة عن المرآة يساوي ضعف البعد البؤري، وأثبت صحة إجابتك رياضيًا، واحسب طول الصورة بوصفه دالة رياضية في طول الجسم في هذه الحالة.
3
أين يجب وضع الجسم بحيث لا تتكون له صورة؟
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
مسألة_تحفيز_المرايا_المقعرة_بعد_الصورة_والبعد_البؤري.png
المرايا المحدبة
Convex Mirrors
تعلمت في بداية هذا الفصل أن السطح الداخلي لملعقة مصقولة يعمل عمل مرآة مقعرة.
وإذا قلبت المعلقة فإن السطح الخارجي سيعمل عمل مرآة محدبة.
والمرآة المحدبة سطح عاكس حوافه منحنية بعيدًا عن المشاهد.
ماذا ترى عندما تنظر إلى ظهر ملعقة؟ سترى صورتك معتدلة ومصغرة.
وخصائص المرآة الكروية المحدبة موضحة في الشكل 5-14.
فالأشعة المنعكسة عن المرآة المحدبة مشتتة دائمًا، لذا تكون المرايا المحدبة صورًا خيالية.
وتكون النقطتان C و F واقعتين خلف المرآة.
وعند تطبيق معادلة المرآة ستكون قيمتا f و di سالبتين دائمًا؛ لأنهما خلف المرآة.
ويبين مخطط الأشعة في الشكل 5-14 كيفية تكون الصورة بواسطة المرآة الكروية المحدبة، فعند أخذ شعاعين من العدد اللانهائي من الأشعة الصادرة عن الجسم فإن الشعاع 1 يسقط على المرآة موازيًا المحور الرئيس، وينعكس عنها، بحيث يمر امتداد الشعاع المنعكس في البؤرة F خلف المرآة.
ويسقط الشعاع 2 على المرآة بحيث يمر امتداده في البؤرة F خلف المرآة.
لماذا؟
سيكون كل من الجزء المنعكس من الشعاع 2 وامتداد الشعاع 2 المنعكس خلف المرآة موازيين للمحور الرئيس، وسيتشتت الشعاعان المنعكسان، في حين يلتقي امتداداهما خلف المرآة ليكونا صورة خيالية ومعتدلة ومصغرة مقارنة بالجسم.
تكون معادلة التكبير مفيدة لتحديد الأبعاد الظاهرية للجسم كما سيرى في المرآة الكروية المحدبة.
فإذا علمت قطر الجسم فاضربه في مقدار التكبير لمعرفة مدى تغير القطر عندئذ.
وستجد أن القطر صغير، مثله مثل باقي الأبعاد، وهذا يفسر لماذا يبدو بعد الصور المتكونة لأجسام في مرآة محدبة أكبر من بعدها الحقيقي.
الشكل 5-14
تكون المرآة المحدبة دائمًا صورًا خيالية ومعتدلة ومصغرة مقارنة بالجسم.
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
الشكل_5-14_تكوين_صورة_خيالية_في_المرآة_المحدبة.png
مجال الرؤية
قد يبدو أن استعمالات المرايا المحدبة محدودة بسبب الصور المصغرة التي تكونها للأجسام، إلا أن هذه الخاصية جعلت للمرايا المحدبة استخدامات عملية.
فمن خلال تكوينها صورًا مصغرة للأجسام تؤدي المرايا المحدبة إلى توسيع المساحة، أو مجال الرؤية، التي يراها المراقب، كما في الشكل 5-15.
كما أن مركز مجال الرؤية مشاهد من أي زاوية للناظر بالنسبة للمحور الرئيس للمرآة، ومن ثم يكون مجال الرؤية واضحًا بمشهد أوسع.
لذا تستخدم المرايا المحدبة على نحو واسع على جوانب السيارات للرؤية الخلفية.
الشكل 5-15
تكون المرايا المحدبة صورًا أصغر من الأجسام، وهذا يزيد من مجال الرؤية للمراقب.
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
الشكل_5-15_مجال_الرؤية_في_المرايا_المحدبة.png
مثال 3
الصورة في مرآة المراقبة
تستخدم مرآة محدبة بعدها البؤري -0.50 m من أجل الأمن في المستودعات، فإذا كان هناك رافعة شوكية طولها 2.0 m على بعد 5.0 m من المرآة فما بعد الصورة المتكونة وما طولها؟
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
مثال_3_الصورة_في_مرآة_المراقبة_المحدبة.png
1. تحليل المسألة ورسمها
ارسم مخططًا للمرآة والجسم.
ارسم شعاعين أساسيين لتحديد موقع الصورة على المخطط.
المعلوم
ho = 2.0 m
do = 5.0 m
f = -0.50 m
المجهول
di = ?
hi = ?
2. إيجاد الكمية المجهولة
استخدم معادلة المرايا الكروية، لحساب بعد الصورة:
عوض مستخدما
d o =5.0m ،f=-0.50m
di = fdo / (do - f)
di = (5.0 m)(-0.50 m) / [5.0 m - (-0.50 m)]
di = -0.45 m
صورة خيالية.
استخدم معادلة التكبير، وحل لإيجاد طول الصورة:
عوض مستخدما
d o =5.0m ،h o=2.0m ،d i =-0.45m
m = hi / ho = -di / do
hi = -di ho / do
hi = -(-0.45 m)(2.0 m) / (5.0 m)
hi = 0.18 m
الصورة معتدلة ومصغرة.
3. تقويم الجواب
هل الوحدات صحيحة؟
جميع الوحدات بالمتر m.
هل للإشارة معنى؟
تدل الإشارة السالبة في بعد الصورة على أنها خيالية، وتدل الإشارة الموجبة في طول الصورة على أنها معتدلة. وهذا يتفق مع المخطط.
دليل الرياضيات
فصل المتغير.
مسائل تدريبية
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
مسائل_تدريبية_14_17_المرايا_المحدبة.png
14
إذا وضع جسم على بعد 20.0 cm أمام مرآة محدبة بعدها البؤري -15.0 cm فأوجد بعد الصورة المتكونة عن المرآة باستخدام الرسم التخطيطي وفق مقياس رسم، وباستخدام معادلة المرايا.
15
إذا وضع مصباح ضوئي قطره 6.0 cm أمام مرآة محدبة بعدها البؤري -13.0 cm، وعلى بعد 60.0 cm منها، فأوجد بعد صورة المصباح وقطرها.
16
تكونت صورة بواسطة مرآة محدبة، فإذا كان بعد الصورة 24 cm خلف المرآة، وحجمها يساوي 3/4 حجم الجسم، فما البعد البؤري لهذه المرآة؟
17
تقف فتاة طولها 1.8 m على بعد 2.4 m من مرآة، فتكونت لها صورة طولها 0.36 m. ما البعد البؤري للمرآة؟
مقارنة المرايا
Mirror Comparison
كيف تقارن بين الأنواع المختلفة من المرايا؟
يوضح الجدول 5-1 مقارنة بين خصائص أنظمة مرآة مفردة، أحادية، لأجسام موضوعة على المحور الرئيس للمرآة.
وتلاحظ من الجدول أن بعد الصورة الخيالية دائمًا سالب؛ لأنها تقع دائمًا خلف المرآة.
وعندما تكون القيمة المطلقة للتكبير بين صفر و 1 تكون الصورة أصغر من الجسم.
والتكبير السالب يعني أن الصورة مقلوبة بالنسبة للجسم.
لاحظ أيضًا أن المرآة المستوية والمرآة المحدبة تكونان دائمًا صورًا خيالية، في حين تكون المرآة المقعرة صورًا خيالية وصورًا حقيقية.
وتعطي المرايا المستوية انعكاسًا واقعيًا للأشياء، أما المرايا المحدبة فتعمل على توسيع مجال الرؤية.
وتعمل المرآة المقعرة على تكبير الصورة إذا كان الجسم واقعًا بين المرآة وبعدها البؤري.
الجدول 5-1
خصائص الصور في مرآة مفردة
الصورة التابعة لهذه الفقرة:
الجدول_5-1_خصائص_الصور_في_مرآة_مفردة.png
| نوع المرآة | f | do | di | m | الصورة |
| ---------- | ------- | ---------- | -------------------- | ------------- | ------ |
| مستوية | لا يوجد | do > 0 | |di| = do، سالب | الحجم نفسه | خيالية |
| مقعرة | + | do > r | r > di > f | مصغرة ومقلوبة | حقيقية |
| مقعرة | + | r > do > f | di > r | مكبرة ومقلوبة | حقيقية |
| مقعرة | + | f > do > 0 | |di| > do، سالب | مكبرة ومعتدلة | خيالية |
| محدبة | - | do > 0 | |f| > |di| > 0، سالب | مصغرة ومعتدلة | خيالية |
5-2 مراجعة
18. صفات الصورة
إذا كنت تعرف البعد البؤري لمرآة مقعرة فأين يجب أن تضع جسمًا بحيث تكون صورته مكبرة ومعتدلة بالنسبة للجسم؟ وهل تكون هذه الصورة حقيقية أم خيالية؟
19. التكبير
وضع جسم على بعد 20.0 cm أمام مرآة مقعرة بعدها البؤري 9.0 cm. ما تكبير الصورة؟
20. بعد الجسم
عند وضع جسم أمام مرآة مقعرة بعدها البؤري 12.0 cm، تكونت له صورة على بعد 22.3 cm من المرآة، فما بعد الجسم عن المرآة؟
21. بعد الصورة وطولها
وضع جسم طوله 3.0 cm على بعد 22.0 cm من مرآة مقعرة بعدها البؤري 12.0 cm. ارسم مخططًا بمقياس رسم مناسب يبين بعد الصورة وطولها، وتحقق من إجابتك باستخدام معادلتي المرايا والتكبير.
22. مخطط الأشعة
وضع جسم طوله 4.0 cm على بعد 14.0 cm من مرآة محدبة بعدها البؤري -12.0 cm. ارسم مخططًا بمقياس رسم مناسب يبين بعد الصورة وطولها، وتحقق من إجابتك باستخدام معادلتي المرايا والتكبير.
23. نصف قطر التكور
وضع جسم طوله 6.0 cm على بعد 16.4 cm من مرآة محدبة. فإذا كان طول الصورة المتكونة 2.8 cm فما نصف قطر تكور المرآة؟
24. البعد البؤري
استخدمت مرآة محدبة لتكوين صورة حجمها يساوي 2/3 حجم الجسم على بعد 12.0 cm خلف المرآة. ما البعد البؤري للمرآة؟
25. التفكير الناقد
هل يكون الزوغان الكروي للمرآة أقل إذا كان ارتفاعها أكبر من نصف قطر تكورها أم إذا كان ارتفاعها أقل من نصف قطر تكورها؟ وضح ذلك.
جاري تحضير الدرس المعاد صياغته وبناء الأنماط
نحافظ على المعنى العلمي ونربط كل فقرة بنواتجها ومفاهيمها.
إعادة إنتاج الدرس حسب نمط التعلم
طلب واحد ينتج المسارات البصري والسمعي والحركي والقرائي معًا، بصياغة تراعي سياق المناهج السعودية.
اختر نمط التعلم
تُنتج الأنماط الأربعة دفعة واحدة، ثم تُستدعى الحزمة المحفوظة في الزيارات التالية.